Katalog

MATEMATİK HABERLESME temlerın eksık olduğunu gostermekle kalmı yor, aynı zamanda arıtmetıkte her yapısal sıs temın noksan olacağını da kanıtlıyordu 6u sonuçlar Godel'ın ılk eksıklık kuramı olarak bılınecektır Daha az teknık bır deyışle, bıçımsel bır dılde ıfade edılebılırken, bıçımsel olarak kanıtlanması mumkun olmayan bazı arıtmetıksel gerçeklerın varlığı, arıtmetığın tu muyle şekıllendırılmesını olanaksız kılmaktadır Godel'ın kuramı konusundakı çok sık raslanan bır yanlış anlama şudur "Godel hıç bır zaman kanıtlayamayacağımız bırtakım arıtmetıksel gerçekler olduğunu ortaya koymuştur" Oysa Godel yalnızca eksıksız bır sıstem ıle mekanık kanıtlamanın bır arada ola mayacağını gostermıştı Bu, kanıta başka yöntemlerden yararlanarak ulaşmayı engelleyıcı bır kural değıldır Godel'ın ortaya koyduğu teorı buyuleyıcı olduğu kadar zorlayıcı, karmaşık ve uzundur Bu nedenle bu yazıda sadece çok ufak bır anlatımına yer verılmıştır (Kanıt) . Kısaca arıtmetığı her şekıllendırme çabası ıçınde, bır arıtmetıksel gerçeğı belırtmekle bırlıkte (bıçımsel) olarak kanıtlanması mumkun olma yan bır ıfade bulunacaktır Arıtmetık ıçın sorduğumuz ıkı soruya gelınce, ıkıncı sorunun cevabının hayır olduğunu şımdı anladığımız ıçın, ılkının cevabının da hayır olduğunu soyleyebılırız Bu da, doğal sayılar hakkındakı ıfadelerın gerçeklığının bır program ıle kanıtlanmasının hıçbır zaman mumkun olamayacağını ortaya koymaktadır Godel ıle aynı zamanda yaşamış olan Ingılız matematıkçı G. H. Hardy bu konuda şöyle demıştı "Allahtan çunku eğer elımızde tum matematık problemlerının çozumu ıçın geçerlı olabılecek mekanık bır kurallar dızısı olsaydı, bırer matematıkçı olarak yaşamımızın sona ermesı gerekırdı" Godel arıtmetığı ve "tum matematıklen" tek bır yapısal sıstem ıçıne alamayacağımızı gostermıştır Matematıksel kanıtlar, bırtakım sembollerle oynayarak varılabıleceğınden çok ötelere uzanmaktadır Arıtmetıksel gerçeklerı aramak uzere bır makıne programlamak mumkundur, fakat bu makınenın ne kadar ararsa arasın, hlçblr zaman bulamayacağı gerçekler de olacaktır Yanı matematıkçiler her zaman yapacak blr iş bulabılecekler tır Hesaplama sırasında bunları değıştırmek mumkun değıldır Hıçbır zaman var olamayacak boyle bır aygıttan soz etmek neden? Çunku bır taraftan gunumuzun bılgısayarları hafıza kapasıtesı ve hesaplama suresı açısından sureklı bır gelışme kaydedıyorlar Cray2 bılgısayarının 2 mılyar byte'lık bır hafıza kapasıtesı ve sanıyede 12 mıiyar ışlemlık bır maksımum hızı var 1988'de tamamlanacak olan Cray 3'un 8 mılyar byte'lık bır hafızası olacak Boylelıkle ıdeal bılgısayarımızın baş edebıleceğı ve gunumuz ımkânlarının çok otesınde olan problemlerın gelecekte bır zaman çozulebılır duruma geleceğı duşunulmektedır Ikıncı bır neden ıse, ıdeal bılgısayarın baş edemedığı her sorunun, şımdı ve gelecekte var olan ya da var olacak her tur aygıt ıçın de baş edılemeyecek bır sorun olmasıdır Aritmetiğin dili Burada sadece dogal sayılar hakkında arıtmetık dılıyle soylenebılır ıfadeler goz onune alınmaktadır Bu dıldekı 'doğru' ve 'anlamlı' ıfadeler, kesın kurallara uygun olarak belırlenmış semboller dızısıdır Tek doğal sayılar için semboller xı, x?, xı (ıhtıyarı doğal sayılar) 0 sıfır, 1 (bır) İşlem sembollerı + (toplama) x (çarpma) Eşıtlık sembolu = Mantıksal semboller (değıl) (veya) (ve) (eğer bunun ıçın netıce olarak) (bazıları ıçın) (tumu ıçın) Noktalama sembolleri ) (sağ parantez) ( (sol parantez) İdeal bilgisayar Ideal bır bılgısayarın sınırsız bır hafızası varsa da, hesaplamanın her devresı ıçın, bunun sadece belırlı bır kısmını kullanmaktadır ideal bılgısayarın yanıtlarını verme suresı de sınırsızdır, fakat her verıyı belırlı bır zaman suresı sonunda uretır Böyle bır bılgısayarın programları belırlı bır uzunluğa sahıp Godel'ın eksıklık kuramı sayısız yorumlara konu olmuştu Yıne de, Godel'ın kendı elıyle yazmış oldukları temel duşuncesının en lyı ıfadesı olarak kalmıştır Gerçek bır matematıkçı olmayanlar tarafından bıle rahatlıkla ızlenebılır işte sıze kısa, oz, fakat zorunlu olarak 'eksık' bır şema Arıtmetık dılındekı her sembole bır sayı verebılırız Aşağıdakı tabloda bu kısmen gerçekleştırılmıştır semboller sayılar ) 1 ( 2 0 3 x. 6 5 6 Bunu yaptıktan sonra her ıfadeyı kendı 'Godel sayısı' olan tek bır sayıyla kodlamak oldukça kolaylaşacaktır örneğın 3x. (xi =0) ıfadesının Gödel sayısı 2 6 x3 5 x5 2 x7 5 x11 4 x13 3 x17"dır Bu kodlamanın detayları onemsızdır Fakat her (n) doğal sayısı ıçın tumuyle mekanık bır yolla (n)'ın bır ıfadenın şıfresı olup olmadığını ve eğer bu doğruysa hangı ıfadenın soz konusu olduğunu anlamak mumkun olmalıdır Gödel sayıları sadece doğal sayılar hakkındakı verılerın değıl, ıfadelerın kendılerı hakkındakı verılerın de bır gostergesıdır Bu ıfadelerın bıçımsel olarak kanıtlanabılır gıbı bazı özellıklerı, tıpkı doğal sayıların şekılsel olarak ıfade edılebılen özellıklerı gıbı (x) bır asal sayıdır, veya (x) bır karedır gıbı dıl ıçınde ıfadesını bulabılmektedır Şımdı Godel kanıtının en zor ve teknık kısmı başlıyor m doğal sayısının ve G ıfadesının, G'nın Gödel sayısı m olan ıfadenın bıçımsel olarak kanıtlanabılır olmadığını gösterdığı ve G'nın Gödel sayısının m olduğu şeklınde gösterılmesı mumkundur Bunun anlamı, G'nın 'kendısının bıçımsel olarak kanıtlanabılır olmadığını' ılerı surmesıdır Doğal sayılar hakkında bır ıfade olan G, ya doğru ya da yanlıştır Eğer doğruysa, G kanıtlanamayacaktır çunku G, Gödel sayısı m olan ıfadenın, yanı G'nın kanıtlanabılır olmadığını 'söylemektedır' Dığer yandan eğer G yanlışsa, o zaman kanıtlanabılecektır Bız bu son olasılığı, yapısal bır sıstem ıçınde yalnız gerçek ıfadelerın kanıtlanabıleceğını bıldığımız ıçın konu dışında bıraktık Sonuçta G ıfadesının arıtmetıksel bır gerçeğı ortaya koyduğunu, fakat bıçımsel olarak kanıtlanabılır olmadığını anladık G ıfadesı, en azından prensıpte, yazılabılır olmakla bırlıkte bunun ne denlı uzun olacağını duşunmek bıle zordur Bununla beraber, kanıtı eksıksızdır Kanıt yayımlanmasından bu yana, 1931 yılında Yakında tamamlanması beklenen sistemle Türkiye'nin her köşesinden bilinmeyen numaraları öğrenmek mümkün olacak. ın mevcut (011) Bilinmeyen Numaralar Servısı tarafından su nulan hizmet kalıtesının, çağın getırdığı teknolojık kolaylıklardan yararlanarak en ust duzeye ulaştırılması amacıyla ulke çapında bilgisayar sıstemı ve buna bağlı çevre elemanlarından oluşan bır ağ kurulması çalışmaları suruyor Kurulmakta olan ağ ana bılgısayarların bulunduğu Ankara Database Merkezı ıle Istanbul, Ankara, Izmır, Adana, Antalya Bursa, Samsun, Erzurum ve Dıyarbakır bölgesel servıs merkezlerınden oluşmakta Boylelıkle, bırden fazla sayıda 11'e hizmet vermekte olan bölgesel merkezler aracılığıyla tum ulke (011) Bilinmeyen Numaralar Servısı alanı ıçerısıne alınmaktadır Bilgisayar sıstemı ve çevre elemanları ağında her bırının kuruluş kapasıtesı 525 megabyte olan toplam 5 adet ana bilgisayar ve 440 adet termınal yer almaktadır Bölgesel merkezlerın servıs alanı ıçerısınde yer alan toplam telefon abone sayısı ıle orantılı olarak değışık sayılarda dağıtımı yapılmış bulunan termınaller, bağlı oldukları donanım aracılığı ıle Database Merkezın'dekı ana bılgısayarlarla yuksek hızda data kanalları uzerınden ve devamlı data alış verışı yapacaktır 011 servisi Türkiye çapında hizmet verecek Servıs hızmete verıldıkten sonra Turkıye'nın herhangı bır yerınde (011) Bilinmeyen Numaralar Servısı arandığında PTT tarafından sağlanacak şehırıçı veya şehırlerarası yol verme duzenlemelerı aracılığı ıle arama o bolgeye hizmet veren merkeze yonlendırılecek ve otomatik çağrı dağıtıcı (ACD) unıtesıne ulaşacak ACD unıtesı benzerı şekılde ulaşan aramaları o an cevaplamaya hazır durumda olan operatörlere dağıtacak Operatör kendıne ulaşan aramayı cevaplayarak telefon numarası soıulan abonenın ısmını onundekı klavye aracılığı ıle ekrana yazarak Ankara Database Merkezı'ndekı ana bılgısayarlar ıle bağlantı kuracak Bılgının ulaşmasından sonra operatör ış yoğunluğuna göre ısterse ekrandakı bılgıyı arayan aboneye kendısı okuyacak, ısterse otomatik anons unıtesını devreye sokarak bılgının bu unıte aracılığı ıle okunmasını sağlayacak ve bır sonrakı aramayı cevaplamaya hazır hale gelecek Arama yoğunluğunun fazla olduğu zaman aralıklarında bu aramalar sıstem tarafından gelış sırasına göre sıralanarak ılk ulaşan arama ılk serbest kalan operatöre gonderılecek ve bekleme durumunda bulunan abonelere otomatik olarak anons veya herhangı bır yayın yapılabılecektır Kurulmakta olan (011) bilinmeyen numaralar sıstemı gerek gelışen teknolojı ve yazılım teknıklerı, gerekse artan abone veya (011) talep sayısı ıle uyumlu olarak buyumeye uygundur Kullanılan yazılım yontemı ıstenen bılgıye ulaşmada kolaylık getıren değışık arama teknıklerıne sahıptır Ayrıca, bılgı guncelleme ışlemıne hız ve kolaylık getırecek olan sıstem tumuyle yedeklı olduğundan gunde 24 saat, haftada 7 gun kesıntısız olarak Turkıye'nın herhangı bır yerınden arayan kımseye Turkıye1 nın herhangı bır yerındekı aboneye aıt bılgıyı sağlayacak ozellığe sahıptır Halen yaklaşık % 80'ının montajı tamamlanmış olan sıstemın onumuzdekı ay ıçerısınde montaj çalışmaları tamamlanacak ve abonelere aıt bılgı gırışlerının tamamlanmasından sonra hızmete verılecektır Sıstem, PTT tarafından kullanım ıçın ITT Bılko, Bılgı ve Kaynak Tıcaret AŞ tarafından kurdurulmakta olup Altın Rehber Basım ve Dağıtım hızmetlerınde mevcut Database bılgılerınden yararlanılacaktır 17