Katalog

MATEMATİK Aritmetiğin eksik noktası 25 yaşındaki mantıkçı Kurt Gödel, bir avuç varsayımdan yola çıkarak tüm "matematiksel gerçeklere" ulaşabileceklerine inanan matematikçilerin bütün umutlarını suya düşürmüştü. Çeviri: Belgin öz M atematikte, negatif sonuçların apayn bır yeri vardır. Bir problem üzerınde kafa yoran parlak matematikçıler ıçin bile, problemin bir sonucu olmadığını kesin olarak kanıtlamak hiç de küçumsenemeyecek bır başarıdır. Bunun en unlu örneklerınden bırı Avusturyalı mantıkçı Kurt Gödel'in eserıdır. Gödel'in "eksiklik' (ıncompleteness) kuramı, matematiksel bır sonuç olmaktan çok, matematık hakkında bir sonuç olarak ortaya çıkmakta ve mantık yoluyla varılabilecek tüm matematiksel sonuç sıstemlerinin sınırlarım çızmektedır. Gödel'in fikırlerını daha iyi anlayabilmek ıçin bütün matematik kuramlarının en belli başlılarından birı olanı, yanı doğal sayıların aritmetiğini ele alalım. Tipik bir matematiksel kuramda, matematikçiler önce bırtakım varsayımlar ortaya atar ve daha sonra mantık yoluyla onlardan bir sonuç çıkarmaya çalışırlar. Başlangıçtaki varsayımlar "aksıyom", sonuçlar ıse kuramın "teorem"ı olarak adlandırılır. Matematığın görkemli yapısını oluşturmakta büyük katkısı olan bu "aksıyomatik" yöntem Yunanlılar tarafından bulunmuş ve yıne onlarca, geometrıyı sistematik bır şekilde geliştirmekte kullanılmıştır. Matematikçiler aksıyom ve teoremlerı yazabilmek içın sözcük ve sembollerin (+,*', J) karışımından meydana gelen değışık bir dil kullanırlar. Yıne de, bunları bir tür "biçimsel" (formel) dılle yazmak da mümkündür, bir bilgisayarı programlamakta kullanılan dil buna örnektir. Matematik dili ingilizce veya Turkçe gibi doğal dıllerın aksine, bıçimsei dillerın çok kesin gramer kuralları vardır ve bu kurallar matematikçilere dildeki hangi ifadelerın "doğru" olduğunu, hiçbır şüphe kalmaksızın anlayabilme imkânını verir. Bizim aksiyom ve teoremlerimiz hiç kuşkusuz bu tür doğru ifadeler kapsamına gırecektir, fakat daha birçok anlamlı ifade de aynı kapsam içinde olacaktır. E, doğru bir ifade (expression) olsun ve biz, E bir teorem mıdir sorusunu soralım. Eğer mantık yoluyla, E'nin aksiyomun bir sonucu olduğu kanıtlanabiliyorsa, sorunun cevabı 'evet' olacaktır. Fakat eğer, başlangıçtaki varsayımlardan yola çıkarak, mantık yoluyla E'ye ulaşamıyorsak, o zaman yanıtın ne olduğunu bilemiyebılıriz. Eğer herhangi bir şekilde E'nin aksiyomların mantıksal bir sonucu olamayacağına ikna olabilmişsek, böyle bır durum söz konusudur. Bıze sorunun yanıtını verebilecek bır aygıt olduğunu varsayalım. Daha doğrusu, biçimsel dılle sunulmuş doğru herhangi bir E ifadesi karşısında, E'nin bır teorem olup olmadığını söyleyebılecek bir bilgisayar programı bulunduğunu düşünelım O zaman teorem dızısinin doğruluğu ortaya çıkacaktır Burada söz konusu olan bılgı saklama yer ve zamanı açısından hiçbır kısıtlamaya tabı olmaksızın, programımızı uy gulayabılecek ideal bır bılgısayardır. Şimdi doğal sayıların aritmetiğini yanı kısaca, arıtmetiği ele alalım Aritmetiğin dılı 2 no'lu kutuda anlatılmıştır. Bu dildeki ifadeler, dılımize çevrildığınde doğal sayılar ile onların iki ana işlemı olan toplama ve çarpma hakkında veriler sağlamaktadır. Bazı ıfadeler zaîen çok açık olanı ymelerler "6,3 ile eşıt olarak bolunebılır" gıbı Fakat "Her çift sayı, ıkı asal sayının toplamıdır" ıfadesinin doğruluğunu anında bıimek olanaksızdır. Peki, doğal sayılar hakkındaki her E ifadesi için E'nin doğru olup olmadığını söyleyebilecek bir bilgisayar programı var mı? Ve hatta, arltmetiksel gerçekleri mekanik olarak test etmek mümkün mü? Birazdan göreceğimiz gibi Gödel, bu soruyu yanıtlamıştır. Şımdi asıl amacımıza donelım. Bızı, sadece mantık kuralları yoluyla tüm arıtmetiksel gerçeklere ulaştırabılecek bazı ana arıtmetiksel gerçekleri ayırmanın mümkün olup olmadığını araştırıyorduk. Ve bu arada, olası her türetmenin (derıvatıon) doğruluğunun mekanik bır tost ile kanıtlanması gerekıyordu Bu aygıt örneğın, bir bilgisayar programı olabılırdı Bu sözcuklerı hatırlayın, çunku bunlar, Gödel'in ulaştığı sonucu anlamanız ıçin bır anahtar olacaktır. Daha başka bir deyişle amaç, arıtmetiği şekillendırmek, tümüyle biçimsel bır şekilde aksiyomlardan yenı gerçekler türetmektı. Daha sonra kullandığımız aygıt her türetmenin geçerliliğini test edecekti. Bortrand Russel bir gun bır avuç mantıksal prensıpten yola çıkarak matematiğin tüm yapısını oluşturmanın mümkün olacağına inanıyordu. Principıa Mathematica adlı osennde Ove Alfred North bunun nasıl gerçekleşebiloceğini gösterdi. Fakat bu kahramanca gayretlerinin boşa çıkması kaçınılmazdı. siksız bir lısteyi verebilme olanağımız yoktur. Fakat karşılaştığı her (,) sayısını 2'ye bölecek ve eğer bölüm doğru çıkıyorsa, n'i bir çift sayı olarak sınıflandıracak bir program geliştirilebilir. Yani aritmetiğin tümüyle şekıllendirilebilmesi tüm gerçeklerin dayandırılabileceği bir dizi aksiyomun varlığına ve bu aksiyomları tanıyacak aygıt ıçin bir programın geliştirilmesine bağlıdır. öne sürülen yapısal sıstemlerden birı 19101913 yıllarında yayımlanan Principia Mathematica'dır Bu üç ciltlik görkemli tezde, Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead matematiğin aslında mantığın bır dalı olduğunu kanıtlamaya çalışmışlardır. Ya da Russell'ın deyişiyle, matematiktekı tüm olayları bırkaç ana mantık prensibine dayandırmak mümkündür. Bu sistemlerin eksiksız olup olmadığı tüm matematiksel gerçeklerin bunlara dayandırılıp dayandırılamayacağı sorusu ise açık kalmaktaydı. Aritmetiği şekillendirmek Aritmetiği böyleslne şekillendirmek mümkün müdür? Sorunun anlamını daha iyi anlayabilmek ıçin türetmenin ne olduğunu açık olarak anlamak gerekir. E'nin aksiyomlardan bır türetmesi olarak, ki bu E'nin bir kanıtı olarak da adlandırılabilir, E, E2, E" ifadeleri serisini düşünebiliriz. Bunların sonuncusu E ile aynı olacak ve serideki her Eı ya bir aksiyom ya da bır evvelki ifadenin mantıksal bir devamı olacaktır. Böylece ifadenin gerçeklığını kanıtlamaya çalışan bir program, bir türetmeyle karşılaştığında, hem aksıyomu hem de kullandığımız mantık kurahnı kolaylıkla tanıyabilecektir. Şimdi hem aksiyomu, hem de mantık kuralını tanıyabilen bir program yazmak mümkündür. Yapacağımız şey, başlangıçta aksiyomların bir listesini de sunmak ve böylece programın karşılaştığı her ıfadeyı elındekı lıste ile karşılaştırmasını sağlamaktır Bu yalnız sınırlı bir sayıda aksiyom olduğu düşünülürse. geçerli bır çözüm olabılır Fakat eğer sonsuz sayıda aksiyoma gerek duyuyorsak, o zaman bir tür özel program gelıştirmemiz gerekecektir örnek olarak, 0,2,4,6,.. gibi tüm çift doğal sayıları tanıyabılecek bir program ıstedığımızı düşünelim. Bunlardan sonsuz sayıda var olduğu ıçin, bilgisayara başlangıçta ek 2 soru Aritmetik hakkında sormuş olduğumuz iki soruyu özetleyelim. llk soru: Arıtmetiksel gerçekleri mekanik olarak test etmek mümkün müdür? Ikinci soru: Aritmetik tümüyle şekillendirilebilır mı? Yani, tüm diğer gerçeklerin türetilebileceği bir dizı aritmetiksel gerçek var mı? Bu iki sorunun cevapları, ya ikisı birden evet, ya da ikısı birden hayır olmalıdır. 70 yıl kadar önce Alman matematikçi Davld Hilbert matematiksel incelemelerin amacının bır kanıt bulmak olması gerektiğıni savunmuş ve bir "kanıt kuramı" oluşturabılmek için yıllarını harcamıştı. "Kanıt kuramı" ya da şekılcı programın amacı tüm matematiksel kanıtlara uiaştırabılecek eksiksız bır sistem kurabılmekti Bunun aynı zamanda aykırılıkdan uzak. tutarh bir sistem olması da gerekıyordu Yüzyılımızın ılk başlarında, matematik için Yapısal sistemin sımrları 1928 yılında Hilbert Bologa Uluslararası Matematikçiler Kongresıne başvurdu. Matematiğin yapısında açık kalmış temel sorunlar olarak tutarlık ve bütünlüğü öne sürüyordu. Ortaya koyduğu sistemlerin tutarlı ve eksıksiz sıstemler olacağını umuyordu. 1930 yazında, Vıyana Üniversıtesınden genç bır matematikçi Kurt Gödel de tutarlık sorununa eğiimiş ve tutarlı bir kanıt bulabilme çabaları arasında, "eksiklik" teoremınin başlıca delilini yakalamıştı. Bulduğu sonuçları 1930 yılında Königsberg'de bir toplantıda ortaya koyarak, büyük Macar matematikçi John von Neumann ile tartıştı. Daha sonra Viyana Bilim Akademisine de bir özet sundu. Buluşu sonunda 1931 yılında, Gödel henüz 25 yaşındayken yayımlandı. Gödel sadece şimdiye kadar bılınen sis 16