Katalog

Hayatın içindeki matematik (2) Kriptoloji Prof. Dr. Erol Balkanay (İstanbul Kültür Üniversitesi); Öğr. Gör. Levent Cuhacı (İstanbul Kültür Üniversitesi) u yazımızda kriptolojinin günümüzdeki öneminden söz edilecek, kodlar kuramı ile aralarındaki farklar ve benzerlikler üzerinde durulacak, uygulama alanları ve yaşantımızdaki yeri sorgulanacak. Önceki yazımızda da belirtildiği gibi kodlar ve kodlama; iletişimin, bilgi depolamanın ve saklamanın hatasız, hızlı ve etkin biçimde gerçekleşmesi konusundaki çalışmaları içermektedir. Bilgiler güvende olmalıdır; yani bozulmamalı, herhangi bir tahribata uğramamalıdır. Kriptolojide ise gizlilik esastır. Bilgilerin veya mesajların iletilmesi veya saklanması tam bir güvenlik ve gizlilik içinde olmalıdır. Kriptografi gizli iletişimi sağlama, verilerin yabancıların eline geçmesini veya düşmanların gizli mesajlarımızı ele geçirmelerini engellemeye yönelik çalışmaları içeren matematik dalıdır. Eski çağlardan beri krallar, devletler, ordular gizli haberleşmelerinde şifreleme kullanmışlardır. Klasik kriptografi dediğimiz bu kriptografi etkinlikleri son yıllara kaDiffie ve Helman şöyle diyordu: “Şif dar devletlerin gizli releme anahtarı ile şifreyi çözme yani servislerinin tekelinaçma anahtarı farklı olsun. Yani öyle deydi. Çoğunlukla sabir kapı düşünün ki, kilitlendiği anah vaş anında dost birliktarla açılamasın, açma anahtarı farklerin haberleşmesinde lı olsun.” veya devletlerin gizli servislerinin iletişiminde kullanılıyordu. “Simetrik Kriptografi” de denen bu şifreleme şemasında bilgiler nasıl şifrelenmişse, yani hangi anahtarla şifreRivest, Shamir ve Adleman (soldan lenmişse aynı anahtarla sağa doğru) Sevindirici olduğu ka çözülürdü. dar da şaşırtıcı haber çok gecikmeDaha açık bir anladi, 1977 yılında Ronald RIVEST tımla işin esası, tarafla(D.1948 ), Adi SHAMIR (D.1952 ) ve Leonard ADLEMAN (D.1945) soyad rın gizli tutmasının zolarının baş harfleriyle anılan RSA runlu olduğu ortak bir şifreleme sistemini buldular. Diffie sırra (anahtara) dayanve Helman'ın devrimci rüyası ger maktaydı. Bu durum çek olmuştu. RSA şifreleme sistemi, 1975 yılına kadar süristenene uygun, açık anahtarlı bir dü. 1975 yılında “altşifreleme sistemiydi. mışsekiz kuşağı” dediğimiz kuşaktan iki genç bilim adamı ortaya çıktı. Whitfield Diffie (05.06.1944 doğumlu) ve Martin Helman (02.10.1945 doğumlu). Diffie o döneme uyan uzun saçları ve devrimci davranışlarıyla dikkat çeken bir matematikçiydi. W.Diffie ve M.Helman, kriptografinin sadece resmi kurumlara ait kapalı kapılar ardında çalışılıp tartışılmasının zamanının geçtiğini, iş ve ticari çevrelerin buna acil gereksinimi olduğunu, internette ticaretin ve işlemlerin sağlıklı yürütülebilmesi için bunun şart olduğunu savunuyorlardı. Bu doğrultuda 1975 yılında yayınladıkları bir makaleyle ortaya attıkları, bugün “açık anahtarlı şifreleme” (publickey cryptography) olarak bilinen şifreleme B sistemi düşüncesi, kriptografi tarihinde gerçek bir devrimin başlangıcıydı. Böyle bir sistemin kurulması gerçekten bir devrim yaratacaktı. Müthiş bir düşünceydi bu. Eğer bu gerçekleştirilebilirse eticaret, eişletme, ebankacılık gibi birçok etkinliğin önü açılacaktı. Böyle bir şifreleme şeması nasıl gerçekleştirilecek? Böyle bir fonksiyon nasıl kurulacak? Yani öyle bir fonksiyon veya sistem kurulmalı ki; girdi için değeri kolaylıkla hesaplanabilsin, fakat fonksiyonun aldığı değer belliyken girdi değeri uygun bir zaman dilimi içinde bulunamasın. Modern kriptografinin kapılarının açılması, böyle fonksiyonların veya buna uyan sistemlerin bulunmasına bağlanmıştı. Birçok matematikçiyi fildişi kulelerinden çıkartan çılgın ve çekici soru da işte buydu. 1976 yılında ortaya atılan açık anahtarlı kriptografide şifreleme anahtarı ile şifrelenmiş metni çözen anahtarın farklı anahtarlar olduğunu belirtmiştik. Şifrelemeye yarayan anahtar açık anahtar (public CBT 1081/ 16 7 Aralık 2007 key) adını alır ve bunun gizlenmesine gerek yoktur, herkes bilebilir. Şifrelenmiş metni çözmek için aynı anahtar kullanılamaz. Bunun için özel anahtar (private key) gereklidir ve gizli tutulur. RSA, açık anahtarlı şifreleme sisteminin kriptografi tarihindeki devrimini perçinlemiştir. Bu sayede aşağıda sayacağımız, yüzyılımıza damgasını vuran önemli uygulamalar gerçekleştirilebilmiştir. Bu sistemin temeli sayı kuramına dayanır. Daha kesin bir söyleyişle asal sayıların taşıdığı sırra dayanır. Pozitif bölenleri sadece 1 ve sayının kendisi olan, 1'den büyük bir tamsayıya asal sayı denilmektedir. İlk birkaç asal sayı 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41'dir. Yeri gelmişken belirtelim ki, asal sayılar kümesi sonsuz bir kümedir. Asalların sonsuzluğu RSA için son derece önem lidir ve M.Ö.350 yıllarında Öklid (Milaslı) tarafından ispatlanmıştır. Günümüzde, iş ve ticari ilişkiler dünyasının can damarının asal sayılar olduğunu söylemek deli saçması gibi gelse de, gerçek kesinlikle budur. Günümüz bilgisayarlarının çok uzun zaman aralığında dahi çarpanlarına ayıramadığı tam sayılar daima vardır. Yeteri kadar büyük basamaklı bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için etkin bir yöntem olmaması düşüncesi temel alınarak çok büyük basamaklı iki asal sayı belirlenir, bunların çarpımı olan sayı şifreleme anahtarı (açık anahtar) olarak seçilirse, bu sayının yani açık anahtarın gizlenmesine gerek yoktur. Çünkü önceden çarpanlar bilinmiyorsa, bunları bulmak uygun zaman aralığı içinde olanaksızdır. Şifrenin çözümü de bu asal çarpanların bilinmesiyle olanaklıdır. Şu halde bu çarpanlarla ilgili bir sayı da özel anahtar yani gizli anahtardır. RSA’nın kırılamaması düşüncesi bilgisayarların bile çarpanlarına ayıramayacağı büyüklükte, sadece sistemi kuranların bildiği çok büyük iki asal sayının çarpımı olan tamsayı seçimine dayanır. Bu da sayı kuramcıları için asal sayı avı ve verilen bir tamsayının asal Simetrik çarpanlarına ayrılması problemikriptografi ni önemli kılmaktadır. RSA sistemindeki düşünce kriptografideki en büyük buluşlardan biridir. Bu şifreleme sistemini bulanlardan R. Rivest bilgisayar bilimcisi, A. Shamir ve L. Adleman ise birer matematikçidir. Ürün ve standartların büyük çoğunluğu, şifreleme ve sayısal imza konusunda RSA sistemini Açık kullanmaktadır. Asal sayıların Anahtarlı gücü ve erişilmez gizemi olmakriptografi saydı, bunların hiçbiri gerçekleşmeyecekti. RSA sistemi bugüne kadar milyonlarca asal sayıyı elektronik ticaretin hizmetine vermiştir. Bizler rahatça bilgisayarımızın başında, ilgili web sitesine bağlanıp siparişimizi verir, veya havalemizi yaparız; bilgisayarımız yüzlerce basamaktan oluşan asal sayıların varlığıyla sağlanan güvenlik ve gizlilikle isteklerimizi gerçekleştirir. Daha açık konuşmak gerekirse asal sayıları ne kadar iyi tanırsak ve onların özelliklerini ne kadar iyi bilirsek, yukarıda sözünü ettiğimiz güvenlik de o oranda azalacaktır. İşte bu nedenle büyük araştırma merkezleri asal sayıların sırrını çözmek için büyük zaman ve parasal kaynak ayırmak zorundadır. Yani asal sayılara bağımlı durumdayız. Öyle ya, şifreleri birgün kırılırsa, veya kırılacak olursa bunu herkesten önce kendilerinin bilmesi hayati önem taşır. Matematikçilere olan gereksinim ve bağımlılık her geçen gün artmaktadır ve bunun artarak devam etmesi kaçınılmazdır. Bunu anlamamakta direnmenin mantıksal açıklaması yoktur. Çok geç olmadan ülkemizde de matematiğe hak ettiği önem verilmelidir. (Devamı var)