Katalog

Matematik Fibonacci Sayıları, Altın Oran ve doğa Sıradan bir pazar günü haftanın yorgunluğunu atmak için bir kır gezintisi yapmak istediniz, diyelim. Gezdiğiniz o doğada muazzam bir matematiğin gizli olduğu hiç aklınıza gelir mi? Eğer böyle bir şeyi hiç düşünmediyseniz, gelin şimdi üç bin yıllık tarihe farklı bir açıdan bakalım. Bu suretle bir sonraki geziniz biraz farklı olabilir belki de. Murat Caner* İBONACCİ SAYILARI: İtalya'nın ünlü Pisa şelırinde doğan Fibonacci, ortaçağın en büyük matematikçilerinden biri olarak kabul edılır. Çocukluğu babasının çalıştığı Cezayır'de ğeçmiştir. Fibonacci 1202 yılında "Cebir Kitabı" anlamına gelen Liber Abaciyi yazmıştır. Liber Abaci oldukça büyük boyutlu bir kıtaptır ve o dönemde bilinen matematiğin büyük bir bölümünün kayıtlarını içerir. Cebir'in kullanımı, farklı öııem ve zorluk derecesinde bırçok örnek de verilerek, çok özel bir yer tutmaktadır. Ancak bunların arasında bir tanesi evet yalnız bir tanesi diğerlerinin çok ötesinde ünlü olmuştur. Unünü bu zamana kadar koruvan bu probleın, tavşan üretmek gibi matematıkle pek de ilgisi olmadığını düşünebileceğiniz bir konudur. Temelde sorulan soru şudur: Eğer bir çift tavşan, her ay bir çift tavşan doğurursa ve her yenı tavşan çjfti, kendi doğumlarından ıki ay sonra yavrulamaya başlarsa, bir çıft tavşandan bir yılda kaç çift tavşan üretebilir? Sorumuzu cevaplamaya çalışalım. 1 İlk ayın sonunda, sadece bir çift vardır. 2 İkinci ayın sonunda dişi, bir çift yavru doğurur ve elımizde 2 çift tavşan vardır. 3 Uçüncü ayın sonunda ilk dişimiz bir çıft yavru daha doğurur ve 3 çift tavşanımız olur. 4 Dördüncü ayın sonunda, ilk dişimiz yeni bir çift yavru daha doğurur, iki ay ö'nce doğan dişi de bir çift yavru doğurur ve 5 çift tavşammız olur. Ru ınantıkla düşünmeye devam edersek aşağıdaki sayı dizisinı elde ederiz. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 Sanırıın dizinin nasıl oluştuğunu anlayabildiniz. Bu dizideki her sayı (ilk ikisi hariç) kendinden evvel gelen iki sayının toplamına eşittir. Bir ufak not: Dizideki sayılar ocak (ilk yavru çiftinin olduğu ay) ile aralık arasındaki ayların her birinde tavşan çiftinin sayısını vermektedir. Yani Fibonacci sayı dizisi bu kadar değildir. Sonsuza kadar gider. Tavşanları bir kenara havuç yemeye bırakarak ilk bakışta gayet sıradan görünen bu dizinin esrarengiz özelliklerini söyleyelim. Doğada kuçuk Fibonacci sayılarıyla ne şekilde karşılaşıldığına bir bakalım. İlk olarak bir bitkinin sapındaki yaprakların, bir ağacın dallarının duzeninde hemen her zaman Fibonacci sayısı bulunur. Eğer yapraklardan hiri başlangıç noktası seçilirse ve bundan başlayarak, aşağıya veya yukarıya doğru, başlangıç noktasının tam olarak altında veya üstünde olan bir yaprak bulunana kadar yapraklar sayılırsa (sap çevresinde birden fazla dönmeye gerek olabilir) bulunan yaprak sayısı, farklı bıtkıler, fidanlar ve ağaçlar içın farklıdır, ancak her zaman bir Fibonacci sayısıdır. Dahası yaprakları sayarken süreç kendini tamamlamadan once yapılan devir sayısı da bir Fibonacci sayısıdır. Eğer bir bitkiyi dikkatle ıncelersek (şekil2) görürüz ki yapraklar bir yaprak alttaki yaprağı kapamayacak şekilde dizilbu sayılar şöyle yazılabilir. Karaağaç, Ihlamur Ağacı, Çimen 1/2 Kaym Ağacı, Fındık Ağacı, Böğürtlen = 1/3 Meşe, Elma Ağacı, Kiraz Ağacı 2/5 Doğadaki Fibonacci sayılan ayçiçeklerinde de bariz olarak görülür. Ayçiçeğinin çiçek kısmında, ufak bölmelerde değildir. Birçok çiçeğin tohum başı, bir kıvırcığın yaprakları, bir soğanın katmanları ve ananasın kat kat kabukları gibı bitkisel şekillerin birçoğu Fibonacci sayısıdır. İşte bunlara birkaç örnek. 3 taç yapraklı bitkiler Zambak, tris F 5 taç yapraklı bitkiler Düğün çiçeği, yabani gül 8 taç yapraklı bitkiler Delphinium 13 taç yapraklı bitkiler Kanarya otu, kadife çiçeği 21 taç yapraklı bitkiler Hindiba, yıldızçiçeği 55, 89 taç yapraklı bitkiler Bir tur papatya Şimdide anlarda ki Fibonacci'ye bir bakalım: Şekil5'de olduğu gıbi sağa doğru uzayan bir petek ve n numaralı gözeye ulaşmak isteyen ancak büyük numaralı gözeden kuçük numaralı gözeye ddnmeyen bir arıyı gö'z önüne alalım. An n nu miştir. Bu ise şunu gösterir. Her yaprak gün ışığını eşit bir şekilde paylaşıyor, yağmur damlaları bitkinin her yaprağına değebiliyor. Mesela ŞekiH'deki resimde en baştaki dalı inceleyelim: Başlangıç noktası olarak 1 numaralı yaprağı alırsak, kendısiyle aynı yönde bir başka yaprakla karşılaşabilmemiz için 3 defa saat yönünde bir dönüş yapmamız gerekir ve bu esnada 5 tane yaprak sayarız. Eğer bu dönüşu saat yönünün tersinde yaparsak 2 tane dönuş gerekecektir. Ve 2, 3, 5 ardışık Fibonacci sayılarıdır. Yukarıdaki bitki içın saat yönündeki dönüş başına yaprak sayısı 3/5 ile gösterilirse, doğada yer alan bazı ağaçlar ıçırı tohumlar vardır. Bu bölümlerin sınırlı merkezden başlayıp çiçeğin dış kenarına giden sarmal egrıler şeklındedir. Örneğin bir papatyanın veya bir ayçiçeğinin çiçek kısmını büyütsek muhtemelen şekil3'c benzer bir görüntü elde ederiz. Şekil3 de saat yönünde olan ve saat yönünde olmayan sarmalları sayarsak 21 ve 34 sayılarını elde ederiz. Bu sayılar ardışık Fibonacci sayısıdır. Hatta bir keresinde İngiltere'de 89 ve 144 sarmallı dev bir ayçiçeği gösterilmiştir. Kozalaklar da Fibonacci sayılannı çok açık bir şekilde gösterirler. Şekil4'deki kozalağın üstündeki spiralleri saydığımızda bulduğumuz sayılar Fibonacci sayılarındarı başka bir şey maralı gözeye ulaşmak içın kaç farklı yol izleyebilir? n = 1,2 için b(n), n numaralı gözeye ulaşmak için izlenebilecek yol sayısı olsun. B(l) 1 , B(2) olmak üzere arının n numaralı gözeye gelebilmesi için ya n1, ya da n2 numaralı gözeye gelmış olması gerekir ki, larvalara b(nl) ve b(n2) yoldan gelebileceğinden sorumuzun cevabı b(n) b(nl) + b(n2) bağıntısı elde edılir ki bu da Fibonacci dizisi bağıntısının kendisidir. ( b(n)) dizısinin eleınanları 1, 2, 3, 4, 5, 8, 13, 21, 34 olmak üzere bunlar bir eleman gecikmeli Fibonacci dizisinin elemanlarıdır. Biz iki ele sahibiz, her elımizin beş parmağı ve baş parmak hariç her parmağın üç parçası var. İki tane de eklem 904/1617 Temmuz 2004