Katalog

Matematik sinde, rakamların yazılarak aritmetik işlemlcrinin yapılış ınelodu batıya gelir ve insanlık tarihinde bir dönütrf fıoktasinı teşkil cdcr. Ilesaplama si.slemi llindistan'da 50(1 yıl önce değişik bir rakam sistemiyle yerleşmis. olup, zamaııında kııllanılan Rotncn rakaııılarmdan daha t'tkiliydi. Yeni rakam sislemi Avrupa'da 16. ve 17. yüzyılda başlayacak olaıı modern bilim ve mühendisliğe temel teşkil edecekti. Liber Abaci'deki alıştırmalardan bir lanesi tavşanlar ile ilgili garip bir problemdi: Adamın biri, bir çift tavşanı kapalı bir bahçeye koymuş. Varsayalım ki her ay bahçedeki her çift tavşan yeni bir çift yavru versin. Yavruların da ikinci aydan itibaren üretken hale geldiğini kabul edelim. Bir yıl sonra bahçede kaç çift tavşan olur? V .;.\*>«•*;. •* Pincvonr 1 dönüş olmuş, bu rakama p diyelim. Ayrıca karşılaştığınız yapraklan da sayın (başladığınız ilk yaprak hariç) bu da size ikinci bir rakam verir q. p/q oranı bitkinin uzaklaşma (ayrılma) sayısını verir. Şimdi şaşırtıcı kısma geliyoruz, eğer değişik bitkilerin ayrılma oranlarını hesaplayacak olursanız pay ve paydaların Fibonacci serisinin rakamları olduğunu göreceksiniz. 1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13 ve 8/21 hepsi de çok karşılaşılan ayrılma oranlarıdır. Örneğin bu oran bildiğimiz otlarda 1/2 çit bitkisinde 1/3, elma dahil birçok meyve ağacında 2/5, pırasada 5/13 gibi.... açıkçası ilginç bir durum. FİİİBONACCİ VE ALTIN ORAN Şimdi eski Yunanlıların Altm Oran'ı ile 13.yüzyılın Fibonacci serisini ilişkilendirmek için iyi bir gizemli romanda olduğu gihi uçları bir araya getirme zamanı geldi. Fibonacci serisini alın ve her rakamı kendinden önceki rakama bölün. Şunu elde edersiniz; 1/11; 2/1=2; 3/2=1,5; 5/31,666...; 8/5=1,6; 13/81,625; 21/13 1,615; 34/21l,619...;55/34=l,6176..; 89/35=1,6181 Durun bir dakika 1,1.6, 1.61, 1.618. Bu Altın Oran'a benzemeye başladı! Bu tesadüf değil, matematikçiler, romantik filmlerde öpüşmek üzere olan iki utangaç âşığın yaptığı gibi Fibonacci rakamlarının oranları ile < sayısının ( > (1,618...) gittikçe birbirlerine yavaşça yaklaşıp ve sonsuzda öpüşeceklerini ispatlamış oluyor. Şimdi bizim iki hikâyemiz birleşiyor FİBONACCİ KURALI Her ay bahçedeki tavşan çifti sayılarının, 1,1,2,3,5,8,13 şeklinde arttığını görmek zor olmayacaktır. Bu da Langdon'un Louvre Miize'si zemininde yazılı olarak gördüğü Fibonacci serisinden başka bir şey değildir. Fibonacci, matematik tarihçilerinin Leonardo Pisano'ya daha sonra taktıkları isimdir. LatincefiliusB o nacci yani "Bonacci'nin oğlu" kelimesinden türetilmiş ve Leonardo Bonacci ailesinin üyesi olmuştur. (Şimdi tarihimizde iki Leonardo var: Leonardo da Vinci ve Leonardo da Pisa) Fibonacci serisini oluşturan genel kural şöyledir: İkinci l'den sonra gelen her sayı, kendinden önce gelen iki sayının toplamıdır. Öyleyse, 1+1=2, 2+1=3, 2+35 ve böyle devam eder. Liber Abaci'deki probleme gelince, her ay bahçeye yeni yetişkin çiftlerden bir çift tavşan + daha önceki yetişkin çiftlerden de birer çift tavşan katılacaktır. Seriyi bir kere nasıl oluşturacağınızı kavradıktan sonra 12 ci numarayı belirleyip kolaylıkla çözebilirsiniz bu da 144'dür. İnsanlar, Leonardo'nun kitabındaki problcmi çözünce gördüler ki bu seri doğada çok sık tekrarlanmaktadır, öyle ki Da Vinci Şifresi romanında her şeyi yüzüne gözüne bulaştıran Fransız polis komiseri Bezu Fache dahi bu rakamlardan şüphelenmekten vazgeçer. 55 adettir ve tüm rakamlar Fibonacci serisinde bulunur. Diğer çiçekler de aynı olayı gösterir; mor kozalak çiçeği güzel bir örnektir. Aynı şekilde kozalaklar genelde saat yönünde 5, aksi yönde ise 8 spiral içerir. Ananas genelde saat yönünde 8 aksi yönde 13 spiral içerir. ömek C: Ağaç ve bitki dallarında yer alan yapraklara yakından bakın. Yapraklar dalda spiral bir düzende yerleşmiş olup dalırı etrafında dönen bir sıralanış takip ederler. Bir yapraktan başlayarak saym bakalım başladığınız yaprağın tam hizasına gelen ikinci yaprağa kadar kaç tam YUNANLILAR (|> SAYISINI NASIL BULDU? Euclid, (Öklit) Elementler adlı kitabında, A ve B noktaları arasındaki doğrunun bir P noktasıyla ikiye bölündüğünü ve AP uzun doğru parçasının PB kısa doğru parçasına oranının tüm doğrunun AB, uzun doğru parçasına AP oranına eşit olduğunu göstermiştir. X 1 İç dış çarpımla eşitlik tekrar düzenlenir; X+lV2 Bu eşitliği de ikinci dereceden denklem haline dönüştürürsek; X2 Xl0 şekline döner. Lisedeki cebir bilgilerinizi hatırlayacak olursanız, ikinci dereceden denklemlerin iki çözümü olur. Denklem çözüldüğünde iki sonuç elde ederiz. lW5 X2 ve 1V 5 X 2 FİBONACCİ VE DOĞA Fibonacci serisinin tabiatta saklı örneklerinden birkaçmı söyleyecek olursak; örnek A: birçok çiçeğin yapraklarını sayacak olursanız, toplamının Fibonacci serisi içinde bir rakam olduğunu göreceksiniz. Mesela süsen çiçeği 3, düğünçiçeği 5, delphinyum 8, yıldızçiçeği 21, papatya 13, 21 veya 34, Michaelmas papatyası 55 veya 89 yapraklıdır. örnek B: Ayçiçeğini inceleyecek olursanız, birinin saat ibreleri yönünde, diğerinin ise aksi yönde ilerleyen iki spiral sarmaldan oluştuğunu göreceksiniz. Bu spiralleri saym bir çok ayçiçeğinde göreceksiniz ki saat ibresi yönünde dönen 21 veya 34 aksi yönde dönen ise 34 veya P I AB AP AP B PB AB doğru parçasının uzunluğunun ne kadar olduğu önemli değildir. Önemli olan oranlardır. Buna göre açıklamamızı kolaylaştırmak için PB uzunluğuna 1 diyelim. PB 1 olmasıyla AP doğru parçasını Altın Oran olarak isimlendirelim. ( x) Değerini hesaplamak için işin içine biraz cebir kaünamız gerekiyor. AB doğru parçasının uzunluğu (x + l) olacaktır. Bu da yukarıdaki geometrik eşitliği, aşağıdaki eşitlik şeklinde yazabiliriz anlamına ğeliyor. 3 haneyi gösterebilen bir hesap makinesi kullanıp hesaplarsanız 1,618 ve 0,618 sonuçlarını bulursunuz. < Altın Oran > | bu sonuçlardan ilki olan 1,618 dir. Diğer sonuç 0,618 neden olmadığı konusunda şüpheye düşerseniz bu rakamın virgülden sonraki rakamlarının sürekli olduğunu görürsünüz. Eksi işaretini saymazsak baştaki l'inde olmamasına rağmen iki sayının birbirine benzediğini düşünebiliriz ancak bu sahte bir sonuçtur. Bundan başka hesaplamaya biraz daha devam ederseniz 1,618 ile 0,618 sayılarının tamamen birbirlerinden farklılaştığını göreceksiniz. Hesaplamanın biraz daha derinine inecek olursanız bu sefer bir sürprizle karşılaşacaksınız eksi sonuç 11/<|> olacaktır ki ikinci derece denklemlerde böyle sonuç olmaz. 903/16 10 Temmuz 2004