Katalog

Boyut değiştirmek kolay değil! n boyutlu uzay matematikçiler için sıradan bir kavramdır. Ancak günlük hayatta, algılanabilen ama ilginç değerleri bazılarınca hâlâ anlaşılamayan üç boyutla yetinmek zorunda mıyız ya da dış değerleri görme isteği ile 4. boyutu (ve hatta n. boyutu) hayal etmek, anlamak olası mı? Prof. Dr. Erhan Güzel (İstanbul Kültür Üniversitesi) tematikçiler tarafından soyut olarak 3. boyutun bir genellemesi biçiminde kolayca ifade ediliyordu. 1827’de Möbius Augustus Ferdinand “Baryzentrischen Kalkül” adlı eserinde üçboyutlu bir uzayı 4 boyutlu uzaya genişletmenin yararlarından söz et M CBT 1262 / 14 27 Mayıs 2011 4. boyutun popüler hale gelmesinde başlangıç tarihi 1884 yılıdır. ngiliz yazar Edwin A. Abbott’un küçük bir bilimkurgu kitabı olan Flatland (Düzülke) adlı eserinin 1884 yılında yayımlamasıyla 4. boyuta olan merak artmıştır. Abbott, Düzülke’yi Viktoryen değerler sistemine yönelik bir hiciv olarak kaleme almıştır; Bu kitap, “2 boyutlu bir dünyada yaşayan canlı varlıklar için 3. boyut neyse, bizim için de 4. boyut odur” fikrini temel alHayal ettiğimiz bu yapılanma görsel olarak aşağıdaki gibidir: maktadır. Aslında bu benzerlik fikri yeni değildir. Carl Friedrich Gauss bu kavramı ifade etmiş ve aynı tema üzerine çok sayıda yazı bilimsel Nokta (boyut sıfır) Doğru (boyut 1) Kare (boyut 2) Küp (boyut 3) Hiperküp (boyut 4) basında çıkmıştı. 1846 da Alman Gu st av Theodor Fechner, Dr. Mises ismini kullanarak , 3. boyuttan Bir katı cismin bu boyutlarda nasıl görülebileceğine habersiz olan düzlemsel kişiliklerin diyaloğu olan “Die vier Paodaklanalım: Sıfır boyutta yer bulmak imkânsız olmasına rağ radoxe” adlı eserini yayımlamıştı. ngiltere de ünlü matemamen, 1. boyutta nokta olmanın dışında en fazla bir doğru par tikçi ve mantıkçı Levis Carroll adıyla tanınan Charles Lutçası biçiminde bir görüntü elde edilebilir. 2. boyut biraz da widge Dodgson, düz bir yüzeyde hareket eden iki lineer varha rahat gibi görünüyor, burada derinliği olmayan şekiller bi lık arasında geçen bir aşk romanı yazmıştır. çiminde görüntüler ortaya çıkmak zorunda. Ancak nasıl haBurada Amerika’ya göç etmiş bir ngiliz olan Hinton’dan reket edilebileceği konusunda görüş belirtmek pek kolay de söz etmeden geçmemek gerekir; ona “hiperuzayların” yazarı ğil galiba. 3. boyut rahatlıkla algılanan, hemen her katı cis olarak bakılabilir. Hinton, Düzülke’nin bir devamını bile yamin kolaylıkla tanımlayabildiği ve hareketleri hakkında be yımlamıştır. lirli bir bilgiye sahip olunan yer olmasına rağmen, burada bile bazılarının birtakım görüntülere anlam veremedikleri an MATEMAT KÇ LER VE 4. BOYUT laşılıyor. Ancak 4. boyut biraz karışık gibi görülüyor. UzayAslında XIX. yüzyılın sonuna kadar, n boyut sadece ma atematikte bir uzayın her noktasının tek türlü olarak belirlenmesini sağlayan minimum koordinat sayısına, söz konusu uzayın boyutu adı verilir. Ancak algıladığımız uzay, içinde bulunduğumuz ve en, boy ve derinlik algılarının hepsinin birden var olduğu üçboyutlu uzaydır. nsanoğlu, algılayabildiği üçboyutla yetinmek zorundayken dış değerleri görme isteği ile 4. boyutu (ve hatta n. boyutu) hayal etmiştir. Doğrudan (1. boyut: apsis) düzleme (2. boyut: ordinat) ve düzlemden üçboyutlu uzaya (3. boyut: kot) geçildiği gibi üçboyutlu uzaydan dört boyutlu hiperuzaya kolayca geçilebileceği düşünülebilir. Dilerseniz deneyelim: Sıfır boyutu bir nokta ile gösterebiliriz. Bu noktadan hareketle kolayca bir doğru (bir boyutlu uzay) elde edilebilir. Bunu yaparken noktadan başlayarak, belirli bir doğrultuda uzay bu noktanın tekrarı ile doldurulur. Bu doğru üzerinde herhangi iki nokta belirleyerek elde edilen doğru parçasından hareketle de iki boyutlu uzayda bir kare oluşturulabilir. Ancak bunu yaparken belirlenen doğru parçasından başlayarak, doğru parçasına dik bir doğrultuda uzay doğru parçası ile doldurulur ve bu işlem doğru parçasının uzunluğuna eşit bir uzaklığa kadar yapılır. Artık düzlemdeki bir kareden hareketle üç boyutlu uzayda bir küp elde etmeyi kolayca gerçekleştirebiliriz. Bunu yaparken de karenin düzlemine dik bir doğrultuda uzay karenin tekrarı ile doldurulur ve bu işlem karenin bir kenarının uzunluğuna eşit bir uzaklığa kadar yapılır. Şimdi bu yapıyı genişletmek için, küpü içeren uzaya dik bir doğrultu hayal edelim. Küpü bu doğrultuda tekrarlayalım ve bu tekrarı küpün bir ayırtının uzunluğuna eşit bir uzaklığa kadar yapalım. Böylece dörtboyutlu hiper uzayda bir hiperküp elde edilir. daki bir katı cismi düzlemsel kesitleri ile (paralel düzlemlerle keserek) gösterdiğimiz gibi, 4. boyutlu bir katı cismi “uzaysal kesitleri” ile gösterebiliriz. Fakat “paralel uzaylar için herhangi bir zihinsel resim var mı?”, “4 boyutlu uzayda paralellik, diklik, düzlem etrafında dönme nasıl tanımlanabilir?”… soruları nedeniyle hiperkatı cisim için durum o kadar basit değildir. Dolayısıyla bir katı cismin 4. boyutta nasıl görüleceği hakkında kesin bir şey söylemek zor olsa da insan merak ediyor. Görüntü konusu, doğal olarak resim sanatını da ilgilendirdiği için olsa gerek, nesne yüzeylerinin ardına bakarak konuyu aynı anda değişik açılardan sunabilecek geometrik şekilleri vurgulama temeline dayanan kübizm 4. boyutu ilham kaynağı olarak almıştır. Kübizm adı, Georges Braque‘ın bir tablosunu gören Matisse’in bu tablo için “küçük küpler” sözünü kullanmasıyla ortaya çıkmıştır. Bir yanılgı sonucu yeni resim sanatına uygulanan bu deyim, Picasso ve Georges Braque’ın o tarihlerde birbirine pek benzeyen ilk kübist eserleri konusunda bir fikir verebilir. Her ikisi de hacimlerin iç içe geçtiği portreler, manzaralar, natürmortlar çizmiştir. Kübizmi anlamak konusunda, matematiğin etkisi ve 4. boyuttan kübizme nasıl geçildiği ayrıca incelenmesi gereken bir konudur. mişti. Fakat 4 boyutlu geometri ile ilgili ilk denemeleri görmek için ngiliz matematikçi Arthur Cayley’in “A Memoir on Abstract Geometry” adlı eserinin yayımlandığı tarihe kadar, yani 1870 e kadar beklemek gerekti. 1880’de Amerikalı Washington Irving Stringham “Regular Figures in n. Dimesional Spaces” adlı eserinde Euler’in formüllerini 4 boyutlu çokyüzlüler için genelleştirdi. 1882’de Victor Schlegel Fransız Matematik Derneği’nde sunduğu ve 1 yıl sonra derneğin bülteninde yayımlanan “Quelque théoremes de géométrie à n dimensions” adlı makalesinde, 4 boyutlu çokyüzlülerin 3 boyutlu uzaydaki izdüşümlerini gösterdi. 4. boyut çok sayıda bilimkurgu yazarı için ilham kaynağı olmuştur. H.G. Wells’in “The Time Machine ” adlı eseri ve komşu üçboyutlu uzayları sahneye koyduğu “Wonderfull Visit” adlı eseri, “The Remarkable Case of Davidson’s Eyes” ve görünmezliğini 4. boyuta borçlu olan bir adamı anlatan ünlü “Homme Invisible” adlı eserleri ilk akla gelenlerdir. Wells’ten sonra, Alfred Jarry 1899’da zamanı inceleyen makinelerin kolayca inşasına yarayacak “Commentaire” leri yazdı. 1912 de Gaston de Pawlowsky, bilimsel açıdan tutarlı olan ”Voyage au pays de la quatrième dimension” adlı eserini yayınladı. Bundan çok kısa bir zaman önce, 4. boyutun halkın anlayacağı biçimde açıklanması çalışmaları, Scientific American dergisinin organize ettiği “4. boyutun en iyi popüler açıklaması” yarışmaları ile önem kazanmıştı. Hepsinden önce, yukarıda da değindiğimiz gibi 1884 yılı, ngiliz yazar Edwin A. Abbott’un küçük bir bilimkurgu kitabı olan Düzülke adlı eseriyle birlikte, 4. boyutun popüler hale gelmesinde başlangıç tarihidir. Düzülke de aslında 4. boyutun en genel gösterilişi kullanılmıştır; Uzaydan hiperuzaya geçiş, düzlemden uzaya geçiş gibi yapılmaktadır. Edwin A. Abbott, Düzülke’de kadınların sosyal konumunu sorgular, eşitlik ve insan hakları için verilen toplumsal mücadelenin en yoğun yaşandığı dönemlerden biri olan Victoria ngiltere sini zekice hicveder. Aslında Abbott, Düzülke’de boyutların hapishanesini anlatır. Bizi kafamızın içindeki hapishaneden çıkmaya çağırır. Fiziksel ve sosyal çevremizle ilgili algımızın sınırlarını sorgular. “Düzülke” denen ülkede her şey 2 boyutludur. Burası toplumsal sınıfların geometrik şekillerle temsil edildiği yassı bir ülkedir; toplumun en alt tabakasını oluşturan askerler ve işçilerin en dar açılı ikizkenar üçgenlerle, orta sınıfı teşkil eden esnafların eşkenar üçgenlerle, meslek sahibi erkekler ve kibar beyefendilerin kare ya da beşgenlerle, soyluların altıgen ve soyluluk derecesine göre kenarları giderek artan çokgenlerle ve en üstte yer alan din adamlarının ise dairelerle temsil edildiği geometrik bir dünyadır burası. Kısacası, bu ülkede kadınlar ilkel varlıklardır, doğru parçaları ile ifade edilirler. Erkekler, çokgenlerdir; sosyal statü arttıkça kenar sayıları artar (çember olma mükemmelliğine eriştiklerinde din adamı olurlar). Düzülke’de, 3. boyutu düşünmek yasaktır, konuşmaksa daYazının devamı yan sayfada EDEB YATTA 4. BOYUT 4. BOYUT MERAKI DÜZÜLKE DE YAŞAM