Katalog

M A T E M A T İ K T E 1 0 Y I L Matematiğin yeni altın çağı Son 10 yılda birçok ünlü ve eski problem çözüldü. Yüksek teknoloji "temeli matematik olan teknoloji" olarak tanımlanıyor. Prof. Tosun Terzioğlu n eskı bılım dallarından bırı olan matematığın son on yılını özetlemek oldukça guç Bu kısa zaman dılımı ıçınde o kadar çok unlu ve eskı problem çözuldu kı bazi yazarlar bu yuzyılın sonlarını "matematiğin yenl altın çağı" dıye nıtelendırmeye başladılar Asiında soyut bır bılım dalı olan matematiğin uygulama alanları da yayıldı Hatta bır muhendıslık araştırma şırketı olan Exxon'un muduru yuksek teknolojıyı "temeli matematik olan teknoloji" dıye tanımladı Soyut bır bılım olan matematığı matematıkçı olmayanlara anlatabılmek pek kolay değıl Matematıkte çözüme kavuşturulamamış ünlu problemler oldukça onem taşır Bu problemler bazen ortaya atanların ısımlerıyle anılır, Rıemann hıpotezı, Fermat problemı gıbı Her yenı kuşak bu problemlere eğıldığınde tam bır çözume ulaşmasa bıle, çabaları sonucu matematiğin gelışmesıne önemli katkılarda bulunıjr Başkalarının yapamadığını yapabılmek, ınsana her zaman çekıcı gelır Hele problem birçok unlu matematıkçının uğraşlarına karşın gene çözulememışse, ılgı daha da artar Bu tur unlu problemlere matematıkçılerı çeken şey salt yarışma hırsı değıldır Matematıkçıler çok 1yı bılırler kı böyle bır derın problem çözulduğunde bır konu çok daha 1yı anlaşılacak ve matematik harıtasında o gune kadar "bılınmeyen bölge" olarak gösterılen bır yer daha aydınlığa kavuşacaktır Matematıkte "sonlu grupların sınıflandınlması" dıye adlandırılan buyük bır proje, 1980'lerın hemen başında sonuçlandı Sonlu gruplar örneğln bır kubu döndurerek ılk halıne dönuştüren ışlemler gıbı sımetrı ışlemlerını temel alan soyut cebırsel yapılardır Bu kavramın fızıkte, parçacıklar teorısınde de önemli bır yerı var Aşağı yukarı bır yuzyıl suren araştırmalarve"Canavar"ısmıverılenbırgrubun bulunmasından sonra sonlu basıt gruplar tam olarak sınıflandırıldı Son on yılda çozulen bır başka unlu problem de 1922'de Ingılız matematıkçı L.Mordell tarafından ılerı surulen bır tahmın Bu tahmının doğru olduğunu 1983'te Alman Matematikçı Faltıngs kanıtladığında, bu olaya matematıkte ender rastlanan bır şekılde ABD, Almanya ve Fransa gıbı ulkelerde gunluk gazetelerde genış yer verıldı Cebırsel geometrı denılen alana aıt bu teoremı burada açıklama, amacımızın çok dışında, ancak bu teoremın bır baş ka unlu ve eskı problemle ılışkılı bır sonucu na değınelım 1637 yılında unlu bır Fransız Fermat, okumakta olduğu bır matematik kıtabının bır yerıne şöyle n not duşmüş "n > 2 içln bır x + yn m zn denkleml tamsayılarta çözülemez. Ama bu olağanustu kanıtı yazmak içln bu sayfada yer yok." Işte "Fermat'ın son teoremi" dıye bılınen bu problem böyle ortaya çıkmış Aradan geçen 350 yıla karşın hâlâ çözulmemış Ne genel kanıt var, ne de bır karsı örnek Ama Fermat'nın son teoremı matematıkte birçok önemli gelışmeye de esın kaynağı oldu Bır an ıçın Fermat'nın ıddıasının doğru olmadığını bır karşı örnekle gostermeye çalıştığımızı duşunelım Bu konuyla uğraşan matematıkçıier tam bır çozume ulaşamasalar da epeyce ılerleme kaydetmışler Orneğın, Fermat'nın son teoremı bır n ıçın doğru değılse, bu n sayısının 125000 den buyuk olması gerektığını göstermışler Şımdı, x 2 +y 2 =z 2 Denklemının sonsuz sayıda çözum takımı olduğunu göstermek zor değıl Faltıngs'ın teoremı bıze tam sayı çözumlerı olduğunu ortaokuldan bılıyoruz Çunku kenar uzunluklar tam sayı olan (3,4,5 veya 5,12,13) dık açılı uçgenler var Tabıı x,y,z bır çözumse, ax, ay, az de bır çözum Bu şekılde elde edılen çözumlerı bır takım saysak gene de x* + y 2 z2 denklemlnin sonsuz sayıda çözum takımı olduğunu göstermek zor değıl Faltıngs'ın teoremı bıze n > 3 ıçın n n n x + y * z Denklemının tamsayı çözumu varsa bunların asiında sonlu sayıda takımdan ıbaret olduğunu söyluyor Bu ıse Fermat1 ın son teoremıne karşı örnek bulmamn guçluğunu gosterıyor 1988'de Fermat E problemının çözulduğu söylentılerı matematik toplumunda heyecan yarattı, ama anlaşılan onerılen kanıtta gıderılemeyen boşluklar vardı Matematiğin unlu problemlerıyle ılgılı araştırmaları varlığı tahmın edılen ama bılınmeyen bolgelere yapılan macera dolu keşlf gezilerine bır Ölçude benzetebılırız 1916'da Bieberbach ısımlı bır Alman matematıkçısı analıtık ve yalın fonksıyonlarla ılgılı bır tahmınde bulundu Böyle bır fonksıyonu f (z)«z+a/+azJ+ gıbı bır sonsuz serı haıınde ıfade edebılırız Bierberbach, boylebırfonksıyonun açılımındakı katsayıların iaj<;n eşıtsızlığını sağlayacağını talın ettı tahmın ettı Istersenız Bieberbach problemıne bır benzetme olarak onun analıtık fonksıyon kıtasındakı yalın fonksıyon ormanı ıçınde suları çok derın ve berrak bır göl olduğunu one surduğunu duşunelım Kendısı sa/a*k2 eşıtsızlığını kanıtlayabılmış ^ ^ 1955.te d e ^ n ^ dlan ve Schifferla £4 eşıtsızlıklerını kanıtlamışlar 1967'de \a6 <6 ve 1972'de fa 6 <5 eşıtsızlıklerı elde edılmış Vaat edılen gole ulaşmak ıçın başka bır yol deneyen Ingılız Llttlewood 1925'te her n ıçın l a n K e ( e = 2 718 5 eşıtsızltgınl bulmuş Bu yolu bır daha deneyen Bazllevich (1951) e sayısını daha da kuçultebilmlş ve en sonunda bu esltsizlikte Fltz Gerald (1972) e yerıne V7/6=1 081 alınabıleceğını kanıtlamış Her ıkı yolu deneyen bu unlu matematik gezgınlerı buyuk uğraşlar sonucunda bazı önemli su kaynaklarına varmışlar ama Bleberbach'ın vaat ettığı göle ulaşamamışlar Başkaları yenı bır yol aramış 1936'da Robertson yenı bır problem ortaya atmış ve bu problem olumlu bır çözume kavuşturulursa Bıeberbach'ın tahmınının de doğru olduğunu kanıtlamış Yanı analıtık fonksıyonlar kıtasının belırlı bır yerınde yuksek bazı tepeler olduğunu ıddıa etmış Ingılız Robertson ve o tepelere çıkıldığında Bieberbach Golu'ne oradan nasıl gıdıleceğını de harıtayla göstermış 1971 'de ıse Sovyet matematıkçı Mllin bır başka ıddıa daha ortaya atmış ve bu doğruysa o zaman Robertson'un ıddıasının da geçerlı olacağını kanıtlamış Işte 1984 başında durumun ozetı bu Milin dağı varsa oradan Robertson tepelerıne varabılırız Bu tepelerden de Bieberbach Golu'ne nasıl uıaşacağımı bılıyoruz Ama bu dağ var mı veya acaba bır .n ıçın m<|am| olan bır f fonksıyonu bulabılır mıyiz? 1984'te uzun süredır özellıkle Löwner'ln yapraklan sararmaya yüz tutmuş olan eski gezi notlarım okuyan Amerikalı de Branges, bu notlardan da esınlenerek kımsenın pek cesaret edemedığı bır şey yaptı Ormanın çok sık, dıkenlı çalılarla kaplı bır yerıne daldı ve Mılın Dağı'na ulaştı Boylece 1916'da Bıeberbach'ın soyledığı yerde gerçekten derın bır golun var olduğunu gosterdı 1985'te ıse dıkenlı çalılardan geçmeyen başka bır yol bıle buldu Macera dolu filmler gıbı mutlu bır son Bıeberbach'ın problemıyle uğraşırken başka guzel yerlere ulaşan yuzlerce gezgının maceraları ıse uzun bır TV dızısı olabılır Bır de tabıı yolunu kaybedıp susuz çöllere duşenler veya göl dıye bulanık bır su bırıkıntısı etrafında dönup duranlar var Artık Bieberbach Golu'ne gıden yolun lyı bır harıtası var 68 yıl boyunca birçok unlu matematıkçıyı uğraştıran bu yere, unıversıtede 4 sınıfta okuyan oğrencılerımızı bır hafta sonu gezısıyle göturebılırız Ama ya sonlu grupların klaslflkasyonu? Evet, bu buyuk proje sonuçlandı fakat toplam ıspat 15 bın sayfa Şımdı bu konuda çalışanlara duşen bır görev bu yolu kısaltmak Denebılır kı bu ışı yapmak ıçın o görkemlı makınelerden, bılgısayarlardan yararlanılamaz mı 7 Matematik dunyasında bılgısayarları, o dağları, tepelerı delıp geçen, bataklıkları dolduran ınşaat makınelerıne benzetmek genelde çok yanıltıcı olur Bılgısayarları, matematik dunyasındakı ışlevlerı bakımından, o ılk balonlara benzetebılırız Bır gezgın, ormanın yuksek ağaçları arasında çok yakınını bıle goremezse, pekala uygun bır açıklıkta bılgısayar balonuna bınıp şoyle 12 km uzağına bır goz atabılır Gorduğu onu bellı bır yöne gıtmeye yureklendırebılır Bazı ender hallerde (çok renk problemınde olduğu gıbı) tam hedefını kesın olarak görurse ve hava koşulları da uygunsa, çapasını çekıp yukselır ve ıstedığı yere varır Bunun yanı sıra numerık analız gıbı matematiğin bazı konularında ve uygulamalarında bılgısayarın sunduğu hızlı ve doğru hesaplama olanakları çok önemlıdır Bllglsayar, matematıkçinin bir raklbl değildir. Olsa olsa yarartı blr yardımcısıdır. Insan zekâsına ve yaratıcı düşüncesıne dıkılmış bır anıttır matematik Ama zaman ıçınde gelışmesını, yayılmasını ve değışmesını surduren bır anıt Ortak kulturumuz ıçındekı onemlı yerını koruyan matematik, birçok bılım alanının bır anlamda dılı olma özellığını kazanmayı surduruyor Bakalım bu yuzyılın son on yılında matematıkte ne gıbı gelışmeler olacak? U 10