Katalog

FRAKTAL GEOMETRİ Fraktal geometri Çeviri: Gülşat Aygen u ınanılmayacak kadar ayrıntılı yapılar matematık dışındakı alanlarda da ılgı ve merak uyandırıyorlar Fraktal geometri karmaşık doğal nesnelerı ve sureçlerı kısaca tanımlayabılmekte "Doğa matematlkçlton blr oyun oynadı. 19. yuzyıl mmtmnatlkçlM duşlemden yoksun olabillrif, ama doğa keslnlikle yoksun cbğll. Matematlkçllerln 19 yuzyıl doğacıhğından aynlmak Içın icat ettlklerl patolojlk yapıların aslında etrafımızda bulunan bildlğlmlz nesnelertn doğasmda bulunduklan ortaya çıktı." FREEMAN DYSON "Characterlzing Irregulaıity," Sclence, Mayıs 12, 1978 19 yuzyıl matematıkçılerının ıcat ettığı "patolojlk yapılar", son yıllarda fraktallar, başka bır deyışle (tek boyutlu çızgıler ya da ıkı boyutlu duzlemler gıbı) bılınen geometrık şekıllerın tam sayılı değıl, kesırlı boyutları olan matematıksel şekıller bıçımını aldı B.B. Mandelbrot 1975 yılında fraktal sözcuğunu Latınce fractus'dan, "kırmak" anlamına gelen frangere'nın sıfat halınden almıştır Fraktal olgusu, 1983 yılında Mandelbrot'un "The Fractal Geometry of Nature" kıtabının yayımlanmasıyla matematıkçılerın ve bılırn adamlarının bılıncınde yennı aldı Fraktallar asımlerı ve oluşumları betımlemede son derece kısa bır yöntem saglamakta Cısımlerı farklı ölçeklerde ınceledığınızde sureklı aynı temel ögelerle karşılaşırsınız Bu yınelenen öruntu cısmın yapısının kesırsel ya da fraktal boyutlarını tanımlar Fraktal geometri doğal şekıl ve bıçımlerı öklıtçı geometrıden daha zarıf ve kısa bır bıçımde betımleyebılmekte (Ölçuye bağlı olarak değışım göstermemenın) ölçu sabıtlığının katı gerekırcı kurallara uysalar bıle pekçok olgunun prensıp olarak öngörulemez olduğunu ortaya koyan çağdaş kaos kuramıyla dıkkate değer bır paralellığı vardır Atmosferdekı karmaşa ya da ınsanda kalp atımı gıbı kaotık olaylar farklı zaman ölçulerınde benzer öruntuler gösterırler, tıpkı sabıtölçülü cısımlerın farklı uzamsal ölçulerde benzer yapısal öruntuler gostermesı gıbı Fraktallarla kaos arasındakı uygunluk tesaduf değildır Daha çok, köklerı derınde olan bır ılışkının belırtısıdır Fraktal gsomatrl ka B os geometri8İdlr. Fraktal geometri ve kaos Fraktal geometnyle kaos kuramı arasındakı bır başka paralellık de kısa sure önce her ıkı alanda yapılan keşıflerın guçlu, modern bılgısayarlarca yapılmış olmasında yatar Bu gelışme, geleneksel matematık kavramlarına da meydan okumakta Fraktallar her şeyden önce ve her şeyden çok bır geometri dılıdır Ancak en temel oğelerı doğrudan gorulemez Öklıtyen geometrının çızgı ve daıre gıbı bılınen oğelerınden bu açıdan temelde ayrılırlar Fraktallar asıl şekıllerle değıl, algorıtımlerle, yanı matematıksel ışlem kumelerıyle dıle getırılırler Bu algorıtımler bır bılgısayar yardımıyla geometrık bıçımlere çevrılır Algorıtmık öğelerın malzemesı, bıtıp tukenmeyecek kadar çoktur Insan bır kez fraktal dılı kullanabıhnce, bır bulutun şeklını, bır mımarın geleneksel geometri dılıyle hazırlanmış planla bır evı tanımlayabıldığı kadar kesın ve yalın olarak betım leyebılır Dil, fraktal geometrının altında yatan düşünceler ıçın uygun bır metafordur HıntAvrupa dıllerı sınırlı bır alfabeye (Örneğin Ingılızce 26 harfe) dayanır Harfler bır araya gelmedıkçe bır anlam dıle getırmezler Öklıtçı geometri de benzerı şekılde, karmaşık cısımlerın yapılacağı bırkaç öğeden(örn çızgı, daıre, vs)oluşur Bu cısımler bır anlamda yalnızca o zaman geometrık anlamlar taşır Mandarın Çıncesı gıbı Asya dıllerı, kendılerı de anlam taşıyan sembollerden oluşur Bu dıllerdekı olası sembol ve öğelerın sayısı sonsuz denebılecek kadar çoktur Fraktal geometri hemen hemen aynı şekilde, her btrı tam ve bırıcık olan sonsuz sayıda çok öğeden oluşur Geometrlk öğeler, fraktal dılınde "anlam" bırımlerı olarak işlev gören algorıtımlerie tanımlanır Ikl ana fraktal dll grubu vardır. Doğrusal ve doğrusalolmayan. Her ıkısı de sonsuz sayıda algorıtımler kullanılarak konuşulur ve bu nedenie sonsuz sayıda olası fraktal görüntuyü ıçıne alır Doğrusalolmayan fraktal dılı, çok daha zengın ve değışkendır Lehçelerın çoğu (Imla ve dılbılgısıne benzeyen) gerekırcı kurallara Gelişlgüzel I kullanarak fı orta noktala düzlemde a sureceğı dö Bırbılgisaya Sonuç gerçt uyar Doğrusal fraktal geometri, fraktal dılın en temel lehçesıdır Bu fraktallara doğrusal adının verılmesının nedenı, algorıtımlerının bır duzlemdekı belırlı çızgılerın bıçımınde olmalarıdır Doğrusal algorıtımler düşsel bir çoğaltıcının (Tıpkı basan) yardımıyla keşfedılebılır Bu, Avustralya Ulusal Unıversıtesı'nde bır matematıkçı olan John E.Hutchinson'ın çalışması ıçın bır metafordur Çok sayıda ındırgeme yapan bu kopyalama makınesının normal bır kopya makınesınden farkı, her bırı makıneye yerleştırılen özgun görüntüyu kopyalayabılen çeşıtlı ındırgeyıcı merceklerının olmasıdır Mercekler farklı ındırgemelere göre ayarlanabılır, ındırgenen göruntuler ıstenen konuma yerleştırılebılır Böylece goruntunün duz çızgılerı duz kaldığı surece, görüntü yerınden oynatılabılır, buyutulebılır, küçültülebıhr büyütulebılecek bır öruntu taşır Bu noktada fraktal geometrının buyu pratık potansıyelı vardır Cısımlerı frakt. lehçeyle betımlemek bır göruntuyu ıle mek ya da depolamak ıçın gereklı ve mıktarını belırgın olçude azaltır Örneğır eğreltıotu gıbı karmaşık bır şekıl, yalnı. ca 24 rakama dayalı doğrusal bır algor tımle eksıksız olarak betımlenebılır Oys televızyon göruntusu nıtelığınde bır görur tu elde etmek ıçın bıle yuzlerce sayısal d< ğer gerekır Dunyaya uydu göruntulen yollamak ıçı harcanan zaman, karışıklık ve masra fraktal algorıtımler kullanılarak yarıya ır dırılebılır Böylesı bır olasılık dırımsel v hâlâ büyuk oranda çözumlenmemış b sorunu ortaya koyar Istenen kesınlıkte b göruntu betımlemek ıçın gereklı dönuşuı fonksıyonlarının (f f ) olası en kuçuk a lesı nasıl elde edınr? Bu sorun gunumu. de yoğun çalışmaların odak noktasıı oluşturuyor Fraktalgörüntu şıfrelerken bır dörtgenl ışe başlanırsa, dörtgenlerın sayısı her koj yada dört katına çıkarak, (m) dönuşur sonra (4 ) adet dortgene ulaşır Dört kof yalamadan sonra ılk göruntu hâlâ seçık bılır nıteliktedır Dörtgenın eğreltıotunu (S nırlayıcı göruntu) oluşturacak kadar kuçü mesı ıçın kabaca SOJfpp^alama yapılm; h ve bu nedenie (1OJU) 4 ° u dörtgen çızı melıdır Bu ışı yapabılecek kapasıtede bı gısayar bugun dunyada yoktur Bır de farklı bır fraktal lehçelerı kumt Sierpinski üçgeni örneği Bu göruntünün yenıden konumlandırılıp ındırgenme bıçımı algorıtım tarafından belırlenır Bır gerıbesleme halkası göruntuyu tekrar tekrar ışleme sokarak fraktal şeklını oluşturur Buna örnek olarak Sıerpınski uçgenını verebılırız (1916 yılında bunu ılk betımleyen Polonyalı matematıkçı Sıerpınskı'nın anısına) Sierpinski uçgenı kendıne benzer, ne denlı küçuk ölçekte olursa olsun, şeklın her parçası, Sierpinski üçgenının tamamını oluşturacak şekilde 10