Katalog

Sayılar Dünyası Asal sayıların dağılımı ve Cem Yalçın Yıldırım Haluk Oral (*) T arih boyunca matematiğin en ilgi çeken alanlarından biri sayılar teorisi olmuştur. Sayılar teorisi denince de ilk akla gelen asal sayılar olur. Bunun nedeni, asal sayı tanımını anlamak için pek fazla bir matematik bilgisinin gerekmemesi, kalemi, kâğıdı eline alan herhangi birinin onlarla uğraşabilmesidir. Nitekim asal sayılarla ilgili pek çok problem matematikçi olmayan kişiler tarafından ortaya atılmış ve hemen her matematikçiyi (kabul etmek istemeseler bile) uğraştırmıştır. Kendisinden ve l'den başka hiçbir pozitif böleni olmayan l'den büyük her tamsayıya asal sayı denir. Bu tanıma göre asal sayıları küçükten büyüğe doğru yazmaya başlarsak dizimiz, 2,3,5,7, 11, 13, 17, 19 şeklinde başlayacaktır. "Sayılar Dünyası" uzun zamandır aradığı heyecanı, Cem Yalçın Yıldırım ve arkadaşlarının yaptıkları bir ispatla yaşıyor.. Ünlü matematikçi Granville'e göre bu ispat, konunun uzmanlarına "neden biz daha önce bunu göremedik" dedirtecek kadar aşikâr; ve matematikte çok nadir olarak söylenen bu söz, genellikle çözümün dahiyâneliğine delildir. yının büyüklüğünü yaklaşık olarak rtln(n) olarak verir. Aslında Gauss 1792'de bu teoremin ifadesini tahmin etmiş fakat ASAL SAYILARIN SONSUZLUĞU kanıtlayamamıştı. Çok basit bir yöntemle asal sayıların Teoremin, logaritmanın nasıl tanımsonsuz olduğu kanıtlanabilir. Buna rağ landığını (hele farklı farklı yöntemlerle) bimen asal sayılar arasında istenildiği kadar liyorsanız, sizi şaşırttığına eminim. uzun boşluklar bulunabilir; örneğin, uzunAsal Sayı Teoremi'nin başka bir ifaluğu 6 olan bir boşluk yani, hiçbiri asal ol desi de şöyle verilebilir: "Bir n pozitif tam mayan peş peşe en az 6 tane sayı bulmak sayısının asal olma olasılığı, n büyüdükçe, istiyorsanız önce 6'yı geçen ilk asal sayıya l/ln(n)'e yaklaşır". Bu durumda, ortalama kadar bu sayıları çarpın olarak, n+7'inci asal sayı n'inci asal sayıya 2.3.5.7= 210 ln(n) eklenebu sayıya 2,3,4,5,6 rek bulunan ve 7 eklediğinizde hiçbisayıya yakın rinin asal olmadığını koolması beklelaylıkla görürsünüz. nir. Peki asal sayılar Tabii ki en fazla ne kadar birbiribu yaklaşık ne yakın olabilir? 2 ve hesap oldu3'ün dışında peş peşe iki ğundan bu asal sayı olamayacağı her zaman aşikâr. gerçekleşmez; Farkı iki olan asal ikiz asal sayısayılara bakalım; 3,5 gı ları anımsabi. Bu asal sayılara ikiz yın: Çok büasal sayılar denir. Yukayük asal sayırıdaki tabloya bakarak larda bir biriCem yalçın Yıldırım başka örnekler de bulane yakın olabilirsiniz, 5,7 veya 17,19 bilir. Peki nereye kadar? Bir yerden sonra gibi. Asal sayılar arasında istenildiği kadar asal sayılar hep birbirine uzak mı olacak uzun boşluklar bulunması size bunların yoksa yakın asal sayılar her zaman bulubiteceğini düşündürebilir, ama bu düşün nabilecek mi? İşte bu problem Sayılar Tecenizi bilinen en büyük ikiz asal sayıların orisi'nin en gözde problemlerinden biri basamak sayılarının 50000'i aştığını öğre olarak yüzyıllardır ortadadır. nince değiştirebilirsiniz. İkiz asal sayıların sonsuz olup olmadığı hala bilinmemekte SAYILAR DÜNYASINDA dir. HEYECAN Yani? Yani asal sayıların tamsayılar içindeki yoğunluğu gittikçe azalmaktadır. Bu sefer ispatlarını yayımlamadan önce sayısız kontrolden geçirdikleri gibi, konunun diğer uzmanlarına da gönderdiler. İlk çözümdeki hatayı bulanlardan Granville de bu ispatta hata olmadığına emin. Granville'e göre bu ispat, konunun uzmanlarına "neden biz daha önce bunu göremedik" dedirtecek kadar aşikâr; ve matematikte çok nadir olarak söylenen bu söz, genellikle çözumün dahiyâneliğine delildir. NASIL BULDULAR? Yıldırım, Goldston ve Pintz'in kanıtladığı sonucu izah etmeye çalışalım. Asal Sayı Teoremi'ne göre bir p asal sayısıyla ondan sonra gelen asal sayı arasındaki uzaklık, ortalama olarak ln(p) olur demiştik. Yıldırım ve arkadaşları, ardışık iki asal arasındaki uzaklığı bu ortalama uzaklıkla kıyasladılar. Teoremlerini şöyle ifade edebiliriz: Uzaklıkları ortalama uzaklıkla kıyaslandığında istediğiniz pozitif sayıdan daha küçük kalacak ardışık iki asal sayı her zaman bulunabilir. Açıklamaya çalışalım: İstediğiniz kadar küçük bir kesir alın, örneğin 1/100. Yıldırım ve arkadaşlannın teoremi, aralarındaki uzaklık l/100In(p?den az olacak p ve q gibi ardışık iki asal sayının var olduğunu kanıtlıyor. Kullandıkları yöntem, sonucun büyüklüğüne göre uzun zamandır bilinmesini de göz önüne alarak "basit" olarak sınıflandırılabilir: Selberg Kalburu. Atle Selberg, Asal Sayı Teoremi'nin 1949'da Paul Erdös'le beraber "elemanter" (yani kompleks sayıları kullanmadan. Yoksa buradaki elemanter hiçbir şekilde basit anlamına gelmiyor) ispatını veren matematikçidir. Selberg Kalburu da Eratosthenes Kalburu gibi istenmeyen sayıların elenmesi ilkesine dayanır. ERATOSTHENES KALBURU Asal sayıları yazmak için eski Yunanlılardan beri bilenen bir yöntem Eratosthenes Kalburu'dur. Açıklayalım: Örneğin 30'dan küçük bütün asal sayıları bulalım. Bunun için önce 30'a kadar bütün tam sayılan yazalım: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 2'yi yuvarlak içine alalım ve her ikinci sayının üstünü çizelim. I ® 3 V 5 <ç/ 7 r 9 W II YL 13 M 15 16 17 }$ 19 20 Kolayca görülebileceği gibi, 2'nin katlarını yani 2'ye bölünebilen sayıları çizdik. Şimdi 2'den büyük ve üstü çizilmemiş ilk sayıyı yani 3'ü yuvarlak içine alalım ve her üçüncü sayının üstünü çizelim. Bu aşamada 3'e bölünen sayılar kalburumuzdan geçecektir. I ® ® / 5# 7 X/Kİ II J2 1 3 K JSJtö 17 l # 1 9 2tf 2122 23 24 25 26 27 2« 29 3# Aynı şekilde devam ederek aşağıdaki son hale ulaşırız: PROBLEM HENÜZ ÇÖZÜLMEDİ İkiz asal sayıların sonsuz olup olmadığı Yıldırım ve arkadaşlarının teoreminden hemen bir sonuç olarak çıkmasa bile, pek çok matematikçi bu sorunun yanıtının da birkaç yıl içinde verilebileceğini düşünüyor artık. Çünkü daha önce nasıl yaklaşılacağı bilinmeyen bu problem için Yıldırım ve arkadaşları bir plan, program sundular. Asal sayıların dağılımı gibi matematiğin en gizemli sorularından birinde heyecan verici sonuçlara ulaşan Yıldırım ve arkadaşlarının çahştnası, bundan sonra yapılacak çalışmalara temel teşkil edecek ve uzun yıllar kaynak gösterilecektir. 14 Mayıs 2005'te Mathematics arXiv'da yayımlanan bu çalışmanın başlığı da çok kolay anlaşılır bir başlık: "Small Gaps betvveen Primes Exist" (*) Matematik Profesörü, Boğaziçi Üniversitesi [email protected] ASAL SAYILARIN DAĞILIMI Şimdi biraz asal sayıların dağılımından bahsedelim. Yukarıdaki tabloyu yaparken, asal sayıların daha önce çizilmemiş sayılar şeklinde kendiliğinden önümüze çıktığını gördük. Peki bir formül bulabilir miyiz? Bir sayıdan sonra gelen ilk asal sayıyı veren bir formül.. Ya da n'inci asa' sayının kaç olacağını veren bir formül... Yanıt şimdilik hayır; asal sayıların dağılımı konusu tanımı bir ilkokul öğrencisi tarafından bile kolayca anlaşılabilmesine rağmen, hâlâ, matematiğin en zor problemlerinden birisidir. Bununla beraber, Hadamard ve de la Valle'e Poussin tarafından 1896'da kanıtlanan bir teorem var: Asal Sayı Teoremi. Bu teorem n büyüdükçe, n'e kadar olan asal sayıların sayısının n/ln(n)'e yaklaşacağını söyler. Başka bir deyişle n'inci asal sa Yazımızın bundan sonraki kısmı için önce yakın tarihi biraz anımsayalım: Dan Goldston ve Cem Yalçın Yıldınm'ın Sayılar 11 Vİ. 1 3 J 4 1 5 16 17 1#19 2Ö 2122 23 2 4 2 5 2 ^ 2 ^ 2 8 29 30 Yukarıdaki tabloda üstü çizilmemiş sayılar asaldır. Bu kalburun yapılışı l'in asal olmadığını da gösterir. Çünkü l'i asal kabul edersek, hiçbir katı yani hiçbir tam sayı asal olmaz. Görüldüğü gibi ilk sekiz tamsayının yarısı, ilk otuz sayının üçte biri asaldır. İlk yüz sayıya bakarsak dörtte birinin asal olduğunu görürüz, bir trilyondan küçük sayıların ise yalnızca yirmi sekizde biri asaldır. Teorisi'nin çok önemli bir problemini çözdükleri açıklandı 2003'te. Goldston tarafından açıklanan bu sonuç bütün matematik dünyasında heyecan uyandırmakla kalmadı, The NevvYork Times'ta bile haber oldu. Fermat'nın Son Teoremi'nin ispatından sonra Sayılar Teorisi dünyasını titreten bir sonuçtu bu. Fakat bu açıklamadan birkaç hafta sonra, Andrew Granville ve Kannan Soundararajan adlı matematikçiler, ispatta önemli bir hata buldular. Bu hata düzeltildiğinde elde edilen sonuç önemli olmasına rağmen eskisi kadar etkileyici değildi. Yaklaşık iki yıl sonra, Dan Goldston ve Cem Yalçın Yıldırım, aralarına Macar matematikçi Janos Pintz'i de alarak aynı sonuca yeniden ulaştılar.