Katalog

GÖDEL NE YAPTI? C umhunyet Bılım ve 'leknık ın 30 Ekıın 1999 gunlu sayı sında Sayın Turgut Güıer, Godel ın matematıkçüerm bıle zor anladıgı Tutarsızkk flkesı'nı cesaretle ele alıp konunun uzmdnı olmdyan okuılara açıklamaya çahşmıştır Bu çabasını kutluyoruz Ancak, Godel'ın yaptıgı ış populanze edılırken, matematık tutaısızmış ızlerumı venlmışür Oysa, mate matık ınsanoglunun 6000 yüda yarattıgı en dogru, en degışmez, en kalıcı bıkın dalıdır Soyut sanat açısından baküdığında da, yuksek estetık degerlere sahuptır Boyle bır esere haksızlık etmemek ıçın Kurt Godel'ın ne yaptıgım okurlara yenıden açıklamakta yaıar goıuyoıuz Bn teoremin ispatı açıkça gorulebılır ya dd dogıudan denetlenebıkr vo tekıaılanabılıı olmalıdır Daha açıkçası ıspat denptlenebüen, ıncelenebüen, rasyonel olarak doğrulanabılen bır yapıdır Dolayısıyla, bır gozonune serme bır sonucun ortaya çıkarılmasıdır Matpmatıkte ıspat ıçın yurutulen usavurma yonteıru oldukça kahplaşmıştır Bılındıgı gıbı bn matematık sıstem, beht (ılksav,' aksı yom) adı veıılen ve başlangıçta ıspatsız kabul edılen az sayıda kurallar (onermeler) grubundan uretüır Bu uretme ya da yaratma ışı, ıkıdegerlı mantıkta tumdengelım dıye adlandırüan ve pŞq (p onermesı q onermesını gerektırır) sımgesıyle ıfade edüen çıkarım kuralıyla yapıhr p onermesıne nncul, q onermesıne vargı demlıı Marıtık, buradakı p ve q onermelerımn doğru olup olmadıklarıyla ügılenmez, yalnızca "eger p dogru ıse q da dogrudur" savının gpçprlı olup olmadıgı ıle ügılemı p ve q nun dogıu olup olmaması ılgüı bılım dallarının konusudur Orneğın, "Karabaş bır kopektır, oyleyse Karabaş memeh bır hayvandır" çıkarımınddkı oncul ve vargı onennelennın dogru olup olmaması mantıgın degıl zoolojı büımının konusudur Belıtleıden başlayaıak yukaııda anlatılan pŞq çıkaıını kuuüıyld elde edılen her sonuç matematıkte bır teoremdır Bu yolla elde edılen teoremlerın dogruluğundan hıç kımse şuphe edemez Çunku ıstenıldıgınde her teoremin ispatı yenıden yapılabılır yaru dogrulugu hpr an kanıtlanabılır Oyleyse msanoğlunun H000 yılda yarattıgı matematıksel vargılarırı (sonuçlaıın, teoremİPrm) tutarsız oldugunu luç kırn se ıddıa edemez Zaten Kurt Godel de matematıkte yaratılan teoremlerın tutarsızlıgmı dsla soylemıyor Godel 1931 yılmda ıkı onemlı sorıuç vermıştır Bunlardan bıı IM Kararsızhk (undecidability) İlkesi ya da Tutarsızlık (inconsistency) tlkesi dıye bıünır Ikmcısı ıse Eksiklik (incompleteness) tlkesi' dır Bu sonuçlar, 20 yy Matematıgıne yapılan pn buyuk kdtküdrddndır Bu katküarı ona, Arıstodan sonra en buyuk mantıkçı unvanmı kazandınruştır Godel'm or taya koydugu sonuçlan, fazlaca teknık ayııntı gereküren ve mdtematıkçı olmaydnları çok ügüendırmeypn ıspatlarınd gıımeden açıklamak arridcımız ıçın yeterh olacaktır Godpl'm Kararsızhk (Undecıdabıhty) [Tutarsızlık (Incon sıstency)! tlkesi ve Efcıklık (Incompleteness) llkesı adı veı ılen sonuçlan, bırbırlerıne denk farklı bırçok teoremle ıfade edıle bılıı Bazıları aşagıda veıılmıştır . , Ancak, bümemız gereken gerçek şudur Mantık kuralla rıyla elde edılen butun teoremler dogrudur Ustelık, Russell ın 1902'de "The Study ofMathemaücs" adlı eserınde yazdıgı gıbı, varolan herhangı bır matematıksel sonuç, gerıye dogru ızleneıek, en başta kabul edılen belıtlerden çıkarılabüır Godel'ın sonuçları, ispatı varolan teoremler ıçın hıç bır şey soylemez Ote yandan, bır kadının "Ben en guzplım" demesı gerçegı ne kadar yansıtırsa, bır belıtsel sıstemın "Ben tutarlıyım" demesı de gerçpgı o kadar yansıtır Soz konusu kadının en guzel olduguna kendısı degü, başkası karar verrrıelıdır Ama o başka sı, evrensel estetık değerlerp sahıp olmayabılır Dolayısıyla, onun kaıannın dogruluguna gene bır başkası karar vermelıdır O bır başkasının kdiannın dogruluguna gene bır başkası kalar vprmphdır Bu adımlar sonsuza dek yıneleneceğınden bıtırılemez Demek kı soz konusu kadının en guzel olduguna karar verılemez Bilim ve Bilimsel Yayın Prof. Dr. Metin Bara Cumhurıyet, Bılım Teknık dergılerınde ılgmç ıkı konu ortaya aüldı (bkz 31 Temmuz 1999, sayı 645 ve 23 9 Ekım 1999, sayı 657) Bılım nıye yapılmalı Bilimsel yayı nın amacı ne olmalı? Prof Dr Mehmet Doğan'm yazılannı ıncelerken, tanımların açık bır şekılde yapılmaması nedenıyle, tartışmanın daha başlarken bızı bır çıkmaza surukledıgını goruyoruz Ornegın, Bılım sozcugu Bu kavramı 'Temel Bılım" ve "Uygulamalı Bılım" olarak ayırırsak sorun, kanımca, zaten çozumlenmış oluyor Yanı, bılım derken temel bılımı, teknolojık gehşmelerın kaynagı olan uygulamalı bılımlerden ayrı duşunmek gerekıı Hangı alanda olurlarsa olsunlar bılım adamlarının yadsıyamayacaklan bır olgu vardır Temel Bilimsel Çalışmalar Uygulamalı Bılım Çalışmaları Teknolojık Gelışme Yenı Urun ve Hızmetler Bu şemadakı yapı taşlanndan bırını yerınden oynatmak veya yok saymak tum zıncırın ışlememesı olasılı gmıyaratır Ornek verecek olursak Einstein'ınteorıkfı zık çalışmalan olmasaydı nukleer santıallara ulaşılamaz dı DNA'nın uç boyutlu yapısını ortaya koyan Watson ve Crick'ın temel bilimsel çahşması ıle genetık muhendıs lıgı bugunku duzeyıne gelebılmıştır Eınstem, Watson ve Crıck gıbı temel bılımcıler bu araştırmaları yaparken oncelıkle nuklepr .santralları, atom bombasını, ınsan genomu projesını mı duşunduleı Onların, Newton'un, Darvvın'm vb ıtıcı gucu tektı Merak Bilimsel merak Boylece Temel Bilinüerin amacı ortaya çıkıyor Dogayı merak etmek ve anlamaya çalışrnak Gelelım "Bilimsel Yayın" konusuna Prof Dogan'ın her ıkı yazısını okurken aklım kanşmadı degıl Dogru, bilimsel yayın yalnızca akademık yukselme veya yazın sayısını arttırmış olmak ıçın yapılmaz, yapılmama lıdır Ancak, bu yola sapanların da bılım adamı kımlıgını bır kez daha sorgulamak gerekır Bırtakım kaşüerın bu tur davranışlarından oturu bilimsel yayınların gereksızlıgıne mı karar verecegız? Bilimsel merak yalnızca doçent veya profesor olmak ısterken depreşen bır olgu degüdır, devamlılık gostermelıdır Oyleyse, gelın bız gerçek bılım adamlarmdan soz edelım Oporturustlerden degıl Bu durumda, bılım adamı nıtelı^ını kazanmış bu kışı bulgularını bılım duııyasına nasıl duyuracak? Dogal olarak bilimsel yayınları üe Dolayı sıyla, Prof Şengör'un "yayın bılımın haberleşme aracıdır, başka hıçbır gorevı de yoktur" duşuncesıne katılıyorum Bu yayınları kaç kışı okur' Bu ıkmcıl bır sorundur Zaten, bılım sel yayınların da reytıngı ol maz Eger bılım adamı Dun ya'dakı ılgılılere seslerayor ve yaptıgı yayınlarla meslektaşları arasında bır tartışma açabılıyorsa, ne mutlu ona • *1U Fen Fakultesı esh Dekanı 661/15 Gelecek için umut Ben/eı usa vurmayla, bır belıtsel sıstemın tutarlılığına dd karar verılemeyecegı ortaya çıkar Bır belıtsel sıstemın tutarlılığına o sısternırı kendısı degıl, bır başka sıstem karar vermelıdır O başka sıstemın kdraıının dogıuluğuna, genp bır başka sıstem karar vprrnelıdır Bu suıeç sonsuza dek uzayaca gı ıçın, bır bebtsel sıstemın tutarlüığına asla karaı venlemez Pekı vdrılan bu sonuç çok mu kotu? Zatnan geçtıkçe bır çok matpmdtıkçı Godel'm sonuçlaıını matematıgın VP dolayısıyld bıbmm bıtmedıgını, bılııılemeyecegını gostermesı açısından olumlu gormeye başlamıştır Eger matematık tutaılı ve eksık sız olsaydı, bıı zaman gelecpk mumkun butun matemdtıksel sonuçlar ıspatlanmış olacaktı O noktadan sonra matematıkte ve dolayısıyla bıkrıde yeııı gelışmeler olanaksız olacaktı Boyle bır sonuç, gelecegın uygarlıkları ıçm hıç de arzu edılmez Oyleyse karamsarlıgı bırakalım Kararsızlık ve Eksiklik ılkelen, matematıgın henuz bıtmedıgıru, onumuzdekı bınlerce mılyon larra yıllaıdd daha yapılacdk çok ış oldugunu gostermektedıı Bu da gelecek kuşaklar ıçm uınut veııcıdır Timur Karaçay, Prof. Dr.; Başkent Umversıtesı, Ankara tkaı dCdvfcObaskent.edu tı Kararsızhk (Tutarsızlık) İlkesi: Bu belıtsel sıstemm tutarlılıgı o sıstpm ıçınde ıspatlanamaz Bır belıtsel sıstem, kendıkendısınıntutaılılıgınıkanıtlaydmaz Kumeler kuramının tutarlılıgını gosteren bır prosedur yoktur Eksiklik İlkesi: Bır behtsel sıstem, o sıstemın butun doğrulannı ıçermez Bır belıtsel sıstem ıçerısınde ıspatlanamayacak dogru ıfadeler vardır Eger formal kumelpr kuramı tutarlı ıse, sıstem ıçensm de dogrulugu ve yanlışlıgı ıspatlanamayan teoremler vardır Burada belıtsel sıstem deyırnı, çıkarım kuralıyla şımdıye kadar uretılmış teoremlerden çok çok fazlasını ıçeren heyula bır kumedır Sayılamaz sonsuz çoklukta olduğu ıçın, sıstemdekı te oremler bırer bırer atüaıak sıstem boşaltılamaz Bır başka deyışle, çıkarım kuralıyla sıstemdekı her teoreme ulaşılamaz Godel ın sonuçlan ortaya atümddan once, Bertrand Rus sell, butun matematıgın tutarlı oldugunu, yanı çelışkı ıçeı medı gını kanıtlamak ıçm çok ugraşmıştı Davıd Hılbert ıse, arıtmetı gın tutarlı ve heı problemın çozulebılır olduguna ınanıyor ve ıspat etmeye uğıaşıyordu DoUyısıyla TutarsızlıkHkesfnın orta ya çıkışının, onlarla bırhkte bır çok matematıkçıyı hayal kırıklı gına ugıattıgı bır geıçektır