Katalog

Matematiğin “Temel” Problemi Küme gibi çok doğal bir kavramın, normalde değişmez, mutlak doğru, mutlak gerçek olduğu kabul edilen matematiği temelden sarsacağı akıllara hiç gelmemişti. Prof. Dr. Erhan Güzel (İstanbul Kültür Üniversitesi) Ç ağlar boyunca matematiğin kesinlik, tutarlılık, tamlık gibi ideal beklentileri eksiksizce karşılayan bir bilim olduğu düşünüldü. Kesinlik, tutarlılık, tamlık gibi niteliklerin matematiğe yüklenmesinin en önemli nedeni, matematiğin aksiyomlardan türetilen doğru önermelerinin kesin olarak kanıtlanabilir olmasıydı. Matematiğin önermelerinin doğru iseler, doğrulukları kesinlikle kanıtlanabilen, doğru değilseler de, yine doğru olmadıkları kesin olarak kanıtlanabilen önermeler oldukları, dolayısıyla matematikte kesinlik ve tutarlılığın tam olarak egemen olduğu kabul edilmişti. Ufak tefek aksaklıklar dışında kuşkuya yer yoktu, işler tıkırında gidiyordu. Yüzyıllardır bilen küme kavramının matematiksel kuramı ancak on dokuzuncu yüzyılın sonlarında ortaya atıldı. Önceleri bir nesnenin küme olabilmesi için koşulların gerektiği bilinmiyordu. Akla gelebilecek tüm nesnelerin bir küme oluşturabileceği sanılıyordu. Yıllar boyunca matematikçiler bir kümenin oluşması için kısıtlayıcı koşullara gerek görmediler. On dokuzuncu yüzyılın sonuna dek matematikçiler düşünebildikleri tüm nesne topluluğuna küme adını vermekten de çekinmediler. Bu rahatlıkla, normalde matematiğin statik, değişmez, mutlak doğru,mutlak gerçek olduğu düşünülürken, ilk olay Alman matematikçi Georg Cantor’un (18451918) sonsuz kümeler kuramını icat etmesiyle başladı. Cantor doğal sayıların sonsuzluğu ile reel sayıların sonsuzluğu arasında başka mertebelerde sonsuzluk olup olmadığı sorusunu soran “Süreklilik Hipotezi” ni ortaya attı. Aslında soru ile doğal sayıların sayısı ifade edilirken, reel sayıların sayısının olduğudur. Doğru ya da yanlış olduğu kanıtlanamayan ancak, soruya verilecek pozitif ve negatif bir cevabın kümeler teorisiyle tutarlı olduğu ispatlanmış olan soru bir matematik sorusu olmaktan çıkıp bir matematik felsefesi sorusuna dönüşmüştür. Ve İngiliz matematikçi Bertrand Russell (18721970) ile işler biraz daha karıştı, Russell “kendisini eleman olarak kabul etmeyen kümelerin kümesi kendisini eleman olarak kabul eder mi ?” sorusunu ortaya attı. Eğer küme kendi elemanı değil ise tanımdan dolayı kendi elemanı olması gerekir, diğer taraftan kendi elemanı ise, kendisinin elemanı olmaması gerekir. Bu bir paradokstur. Bu paradoks, küçük ve uzak bir kasabada kendisini tıraş etmeyen adamları tıraş eden berberin durumuna benziyor. Paradoks,”Berber kendi kendini tıraş eder mi?” sorusunu sorana kadar çok mantıklı görünüyor. Berber kendi kendini tıraş eder ancak ve ancak kendi kendini tıraş etmez. “Bu berberden kime ne! ” denilebilir. Ancak, bir küme ile matematiksel bir kavram ile ilgileniyorsanız, bu sorunu halletmek o kadar kolay değildir. Aslında Russell paradoksu Epimenides paradoksu ola rak bilinen paradoksun kümekuramcı yansımasıdır. Bu, yalancı paradoksudur; kendisi Giritli olan Epimenides’in “bütün Giritliler yalancıdır” iddiasının doğruluğu ya da yanlışlığı hakkında ne söylenebilir. Ya da “bu cümle yanlıştır ” cümlesinin kendisi yanlış mıdır? Bertrand Russell 1901 de daha henüz 28 yaşındayken o günün matematiğinin çelişkilerden yoksun olmadığını ortaya koyduğu paradoksla göstermiştir. Bu durum o günün matematiğini ve matematikçilerini sarsmış ayrıca matematikçileri matematiğin temelleri üzerine daha derin düşünmeye zorlamıştır. Russell paradoksunun ortaya çıkışı özellikle Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848 1925) için büyük hayal kırıklığı yaratmıştır. Modern mantığın kurucularından sayılan Alman matematikçi ve mantıkçı Frege 1893’te Aritmetiğin temelleri adlı ünlü eserinin ilk cildini yayınlamıştı. Bu eserinde Frege aritmetiği sağlam temellere dayanan bir kümeler kuramına dayandırmak istemişti.1902 ‘de de yapıtının ikinci cildini tamamlanmış ve baskıya verilmesi aşamasına geçilmişti. Tam bu sırada, 54 yaşındaki Frege, 30 yaşındaki Russell’dan “sevgili meslektaş “ diye başlayan bir mektup alır. Bu mektupla Russell Aritmetiğin Temelleri’nin birinci cildini okuduğunu, çok yararlandığını, çok sevdiğini belirtir, Frege’yi göklere çıkartır, ikinci cildini dört gözle beklediğini söyler. Mektubun ortalarında da bulduğu paradoksu açıklar. Frege mektubu okuduğunda belki de hayatının en büyük düş kırıklığını yaşar. Çok emek verdiği yapıtı ve yaşamını adadığı, temelini kurduğunu sandığı matematik birden yok olup gitmiştir. Kitapta temel değişiklikler yapması için çok geçtir. Bir son söz yazmakla yetinmek zorunda kalır. Frege, Russell’ı yanıtlamak için bir mektup yazar. Mektuptaki bir kaç alıntı şöyledir: “ Sevgili Meslektaş, 16 Haziran tarihli ilginç mektubunuz için çok teşekkür ederim. Benimle çoğu konuda aynı düşüncede olmanıza ve çalışmamı ayrıntılarıyla tartışmak istemenize sevindim. ... Bulduğunuz çelişki beni büyük şaşkınlığa belki büyük üzüntüye demek daha doğru olur uğrattı, çünkü aritmetik kuramını dayandırdığım temeli sarstı. ... Her durumda buluşunuz çok önemli,ileride mantıkta büyük ilerlemelere neden olabilir. ... Kitabın ikinci cildi yakında çıkacak. Kitabın sonunda bulduğunuz çelişkiden söz eden bir ek yazacağım. Keşke doğru bakış açısına sahip olsaydım.” Frege kitabının son sözünün başına da şöyle yazar: “Bir bilim insanı için, yapıtı biter bitmez temellerinin yıkılmasından daha korkunç bir şey düşünülemez. Yapıt tam baskıya hazırlanırken Bay Bertrand Russell’dan aldığım bir mektup beni işte bu duruma soktu.” Matematikçiler arasında Cantor’un küme kuramı ve Russel’ın paradoksunun sebep olduğu krizin üstesinden gelme telaşı başlamıştır. Küme tanımına getirilen bazı kısıtlamalar dışında ilk öneri, geometriyi bir dizi aksiyoma indirgeyen, matematiğin biçimsel temellerini oluşturmada önemli katkısı olan Alman matematikçi David Hilbert (18621943) den gelir. Hilbert ”Matematik nesnel ise, öznel değil ise, bir ispat ya doğru ya da yanlış ise bu durumu belirleyecek kurallar olmalı”. Yani, ”bir ispatın kurallara uyup uymadığına karar verecek bir yöntem olmalıdır” iddiasını ortaya atar. Böyle bir yöntem bulmak kolay değildir. Bırakın krizin üstesinden gelmeyi durum daha da içinden çıkılamaz bir halır. Çek matematikçi Kurt Gödel (19061978) Russell paradoksunun hayret verici bir keşif olduğunu kabul eder. Gödel “Ben ispatlanamam” diye bir cümle üreterek işe başlar ve 1931 yılında meşhur “Eksiklik teoremini” ispat eder; ”Tamsayı aritmetiği içeren herhangi bir sistem içinde, sistemin aksiyomlarından hareketle doğruluğu ya da yanlışlığı kanıtlanamayacak önermeler bulunur”. Bu büyük bir şok yaratır; Hilbert yanılmıştır! Bu şok matematik konuşanları çok etkilemiştir. Frege gibi 100 de 100 felsefeciler matematik bitti hayaline kapılmışlardır. Matematik yapanlar ise bu duruma aldırmamıştır. Çünkü “eksiklik “ teoremi, tamsayı aritmetiği içeren herhangi bir sistem içinde, sistemin aksiyomlarından hareketle doğruluğu ispat edilen önermeler için hiç bir şey söylememektedir. Ancak, matematikçiler bu tartışmalardan faydalanmışlardır. İngiliz matematikçi ve Alman şifrelerini kırarak II. Dünya savaşının kazanılmasında başrol oynayan İngiliz milli kahramanı Alen Turing (19121954) Gödel’in yaptığının bir programlama dili olduğunu fark eder ve 1936 yılında, yani Gödel’den 5 yıl sonra “hesaplanmazlığı” keşfeder: Bir Turing makinesinin veya bir bilgisayar probleminin, süre sınırlaması olmaması halinde duraksayıp duraksamayacağına karar vermek mümkün değildir. Turing’in bütün soruna yaklaşımı Gödel’den farklıdır. Gödel’in çalışmasında bir programlama dili vardır ancak, bilgisayar görecelidir. Sadece dikkatli bir göz bunu fark edebilir. Turing gerçekte matematiğin girdiği çukurdan bilgisayarı çekip çıkarmış, matematiksel bir kavram olarak bilgisayarı bulmuştur. Dolayısıyla yaşanan bir kaos ortamında bile matematik günümüzün en vazgeçilmez teknolojisinin temelini oluşturmuştur. Kaynakça Ali Nesin, Matematik ve korku Bekir S. Gür, Matematik Felsefesi Cemal Yıldırım, Bilimin Öncüleri Nazif Tepedelenlioğlu, Kim korkar matematikten Georges Ifrah , Rakamların evrensel tarihi I,II,II,IV Gregory J Chaitin, Thinking about Gödel and Turing, Essays on Complexity, 19702007, CBT 1245 / 14 28 Ocak 2011