Katalog

Butadan sonra Penrose'un ıkılı kumelerının ozellıklerı ok ve uçurtmadan oluşan ıkılı kumesı uzerınden çentıkler kaldınlarak (ama varmış gı bı duşunulerek) dnlatüacaktır Ok ve uçurtmadan oluşturul nıuş koşeleıı bu noktada buleşen karo kumelerının aşagıdakı gıbı, ısunlendırılmış 7 farklı dızılışı vardır ŞekilÎ'dekı ok ve uçurtmadan oluşan kaplma staı merkezlı bu kaplamadır Yıldız merkezlı kaplamanın beşlı do nel sımetıısı olduğu gıbı, guneş merke7İı kaplamanın da \ynca Ikl Penrose Iklll karolarıyla yüzeyin periyodlk kaplamasmı engellemek için, karolann beşlı donel sımetıısı olacaktır kenarianna periyodlk kaplamaya Izln vermeyen çentlkler koymuftur (Şekll7).Dığer beş dızılışten herhangı buı merkezlı kapldmamn, beşlı ku, alaru kuçuk donel sımetıısı rnumkun olmayacaktu" 7 şekıl olan şekıl yakla den herhangı bırını enflasyon deıulerı yontemşık olarak i 618 le buyutmek ıçın, ıçuıde bulunan ok ve uçurt katıdır Herhangı malannm her bıruurı ıçuıe ve etıafuıa Şekılbu ıkılı kumeyle 9'dakı gıbı daha kuçuk ok ve uçurtmalar yer yapılan yeteı lı leştırmemız ve kesıklı gosterılen çızgılerı sılbuyukluktekı memız geıekmektedır Bu yontemle bır uçurt kaplamado da ma şeklı A uçuı tma ve 2 oktan oluşan, 1 ok ıse buyuk şeklırı Şekll 9 3 uçur trna ve 2 oktan oluşan şekıllere donuşuı adedı kuçuk Yenı oluşan uçuı tma ve oklaıuı keridrldn eskışeklırı ddedının Ok (ddrt) VP uçurtmadan (kıte) oluşan leruıe gore altuı oranı q kadar daha kuçuktur yaklaşık 1 618 katıdır karo kumesıyle ydpüdiı Şekıl 7 a dakj bu I Ierhangı bır kaplama parçasuıa enflasyon uyBu sayı tarn olarak q(l+b >ldina ve eşkenar dortgerüer (rhombus) ıle guldndığında yenı oluşan uçurtma v e oklann l/2)/2=l 618034 ıle verılır ve matematıkte a] •ılan Şekıl 7b'dckı kaplama bubulerıne do bır kısmının bırbırlerıyle tam olarak çakıştığı tuı oran olarak adlandınlıı tuı ulebıldıklen ıçuı bu ıla karo kumesı bır yorulecektır Bu Penrose karolannın ılguıç bır Buraya kadar verılen otneklerdc Penıo nın dualı olaıak adldiıdıı ılır Peruose'uıı nzellığıdır se'un periyodlk dızılenıeyen kaıo kuıııleı ırıırı lamalan beşgenlerle yakından ılgüı olduğu Ornek olarak as dızılışı 3 Enflasyonuna beşlı donel sımetnk kaplamalan gosterılmıştır Penrose tarafından pentaplex olaıak ddlankadar buyutulmuştur (Şekll10) Burada şekılPenrose'un kaıo kumeleıı beşlı donel sımetrı Imışldidıı leıuı ıyı gorulebılmesı ıçuı, her enflasyondan olmadan da bıı yuzeyı kaplayabılırler Her ıkı kıımede de alanı buyuk oları şesonra şekuleı ın kenarları q oranında buyutulelek, uçurtrnd ve oklann tekrar kendı buyuklu ğıuıe gelmesı sağlanmışüı Sonlu enflasyonla buyutulmuş herhangı bu kaplama parçası, sonsuz kere enfldsyonla buyutulmuş bır dığenrun ıçuıe sonsuz degışık yeıe yeıleşürüebılır Şekilllde yıldız merkezlı bır kaplama ıçmde asın 1 Enflasyonun yerleşürılebıleceğı 15 degışık yer gosterılmıştıt Penrose'un ıkılı kumelerı Şekll12'dekı yıbı ıkıye bolunduklennde hepsının dış açıları 54 54 72 ve 36 36 108 oldiı ıkı ıkızkenar uçqenden oluştuğunu gonınız Dolayısıyla Penrose'un ıkılı kumelerı bu ıkı ıkızkendrdan üçgenden oluşmuştur, dıyebılınz Penrose'un ıkılı kumelerınden herhangı bırıyle yapılan kapla madakı kaı oları ortdlarından ıkıye bole ıuk kaplamayı ıkı ıkızkenar üçgenden oluşmuş bu kaplama hdlıne donuşturdu ğumuzde her ıkızkenar uçgenınm ıçuıde b bolgerun 0 ya da 1 gıbı bır kodu vardır Alan olarak buyuk olan ıkızkenar uçgenuı ıçının kodu 0, kuçuk olan ıkızkenar uçgenuı ıçmın kodu da 1 'dır Bundan sonŞekll 12 Penrose'un Iklll kümeleri Iklye bölündük lakı her ddımda kaplerinde, hepslnln Iç açrian 54 54 72 ve 36 36 108 kmddakı her kuçuk olan Ikl Iklzkenar üçgenden oluftuğunu görürtiz uçgenuı bırer kenarı sıluıerek kuçuk uç Şekilii genler kendıleıme benzer daha buyuk uçgerı lere donuşrurulur ve yenıden kodlanırlar Şe kı]13 dıkkatle ıncelendıguıde bu ışlemın, ke nar sılmenın yıne uçgenler oluştuımak şdrtıyla sadece tek bır şekılde yapılabılecegı gorule cektır Kuçuk uçgenuı yanlış kenannı sılersek dıkdortgenler oluşur kı bu ışlemde buııa ızırı verılymemektedır Seçüen bır rıokta her adım da kuçuk uçgen ıçınde kalıyorsa 1 buyuk uçgen ıçınde kahyoısa 1 buyuk uçqen ıçınde kalıyorsa 0 yazılıı Boylece uçgenlerı buyute bu yute bu kod dızısı elde edılıı Şekıl1 'de ok ve uçurtrnadan yapılmış bn kaplama, ıkızkenaı uçgenlere donuşturııldukten sonrakı x ıle gos terılen bolgenın kodu 0010 ızısı olarak geüş mektedır Burada nokta nokta ile gosterılen sayıla rı elde etmek ıçın uçgenlerm buvutulmesı ışle mıne devam edılmelıdır Bu yapüdıgında ko dun 101 olarak devam edecegı gorulecek tır Bunun otesınde devam etmek ıçın ıse kap lamarun gosterılen kısmının buna musaade et medığı, rum kod dızısuıı yazabümek ıçuı kap lamarun sonsuza kadar devam etmesı gerek tıgı gorulecektır bu da sonsuz degışık şekılde yapılabılır Bu kod dızılerı ıçın en onemlı kural hıçbır zaman ıkı tane I'ın ard arda gelmedıgıdır Herhangı bır pentaplex kap lamddakı herhangı bır bolgenm kod dızısuurı kaplamadakı bu bolgeyı tek olarak belırledıgı 1975 yüuıda Raphael Robınson taıafmdan gos terümLştıı Enfldsyonla buyutuleb ılecek en baaıt şekıller Şekil9'da gosterdenleıdıı Bu şekılleıden enfldsyonla buyutulmuş yedı degışık kaplama elde edebılııız Bu kaplamalan bu şekıllerın enflasyonu olarak adlandu;altm Gos tenlebılır kı herhangı bu: bolgerun kod dızısı bu aşarridddn sonra aşagıdakı gıbı sıibıt bu donguyle ılerleyecektu Bolge meıkeze np kadar akınsd bu sabıt donguye erışılmesı de o kadar çabuk olur Gosteıılebılıı kı bu sabıt donguyle ılerleyen dızıler As enflasyonlu kaplama ıçuı 0000000000000000 Guneş enflasyonlu kaplarrid ıçuı 0010001000100010 Yıldız enflasyonlu kaplama ıçuı 1000100010001000 Referanslar 1 'The Emperor's New Mıııd" Roger Penrose, Oxford Unıversty Press, 1989 "Kraluı Yenı UsuCılt I (Bılgısayar ve Zekâ)" Çevırı Tekın Derelı TUBlTAK Populer Bılım Kıtaplan 115, Ankara, 1997 2 "Tıluıgs and Pattems", Branko Gnın baum ve G C Shephard W H Freeman dnd Company NevvYork 1987 ekil 10 ekll11 ıldız merkezll blr kaplama Içlnde asın I. ntiasyonun yeriestlrileblleceğl 15 değlflk yer österilmlftlr. 871/9