Katalog

Top Yuvarlak Değildir! Prof. Dr. Erhan Güzel (İstanbul Kültür Üniversitesi) FUTBOL TOPUNUN MATEMATİKSEL SIRLARI Futbol topu genellikle yuvarlak hayal edilir ve günlük hayatta böyle kabul edilir, fakat daha yakından bakınca topun birçok parçadan meydana geldiği görülür; bu parçalar topu mümkün olduğunca yuvarlak hale getirir. H emen her gün siyaset, politika ya da spor içerikli yazılarda “top yuvarlaktır” ifadesi ile karşılaşırız. Gazete veya dergilerde yer alan makaleler genellikle, güncel olarak kamuoyunun ilgilendiği konular bağlamında kullanır bu ifadeyi. Topun yuvarlak olduğu kabulünden hareketle kitaplar ve resimli romanlar yazılmıştır. Örneğin, Hakan Dilek’in “Top Yuvarlaktır” adlı kitabı ünlü isimlerle futbol sohbetlerini içerir. Ancak unutulmayan ve hâlâ güncelliğini koruyan bir çizgi romanı diğerlerinden ayrı tutarım: Türk mizahının önemli isimlerinden Turhan Selçuk’un yarattığı ünlü çizgi roman kahramanı Abdülcanbaz’ın hikâyelerinden biri “Top YuvarlaktırFutbol Tarihimizin Karanlık Kalmış Yılları” başlığını taşır. Kahramanımız Abdülcanbaz sağlam kişilikli ve üstün niteliklerini daima iyinin, halkının, ezilmişin yanında; sömürücülere, zalimlere, namussuzlara karşı kullanır. Ancak hikâyenin önemli bir kişisi daha vardır: Bir mirasyedi olan Gözlüklü Sami şeytani bir zekâya sahip, zevk, sefa ve kadına düşkün, düzenbaz bir adamdır. Abdülcanbaz’ın bu macerasında, futbol tarihimizin karanlık kalmış yanları açığa çıkarılır. Gözlüklü Sami’nin de içinde olduğu Milli Dayanışma Futbol Kulübü’nün sürekli kuraldışı davranışlar ve hakem desteğiyle maç kazanmasına bir son vermek isteyen Cibali Halk Futbol Kulübü, Abdülcanbaz’dan destek istemeye gider. Abdülcanbaz ve arkadaşları takımı yeniden yapılandırırlar. Gözlüklü Sami ve yandaşlarının işi zorlaşmıştır. Ama top yuvarlaktır ve olaylar beklenmedik biçimde gelişebilir… sel yüzden oluşan icosahedrondur; bu tür çokyüzlülerin sonlu sayıda olduğu biliniyor. Platon, kitabında toplam beş tane olan bu cisimlere aynı zamanda başka anlamlarda yüklemiştir. Piramit (tetrahedron) ateş, küp (hexahedron) toprak, icosahedron su, octahedron hava, dodecahedron ise cennetin yapıtaşı olan etherle bağdaştırılmıştır. Bu cisimlerin neden tamı tamına beş tane olduğunun ispatında çok ilginç ve bir o kadar önemli bir formül kullanılır, “Euler formülü” (bkz. Barış Paksoy). Ünlü İsviçreli matematikçi Leondard Euler’in (17071783) adıyla anılan formül aşağıdaki gibidir. S tepe sayısı, A kenar sayısı,F yüz sayısı olmak üzere SA+F=2 dir. Euler formülü sanıldığı gibi ilk olarak Euler tarafından değil, René Descartes ( 1596 1650) tarafından bulunmuştur; Euler ise bu formülü Descartes’tan bağımsız olarak tekrar ispatlamıştır. Yakın arkadaşı matematikçi Christian Goldbach’a (16901764) bir mektubunda bu formülden bahseden Euler, 1751 yılında formülü yayımlamıştır. Formülün kesin ispatıysa 1847 yılında Karl Georg Christian von Staudt (1798 –1867) tarafından yapılmıştır. Bu formül, futbol topu gibi kenarları boyunca birleşen yüzlerden oluşan bütün katı cisimler için geçerlidir; bir tek koşulla: Cisim konveks olmalıdır, yani ne içe giren kısım ne de delik içermelidir. Yukarıda sözü edilen SA+F=2 formülü ile futbol topunun nasıl inşa edildiğini ortaya koymaya çalışalım. Futbol topunun x sayıda altıgen ve y sayıda beşgenden oluştuğu prensibinden hareket edeceğiz. Burada düz deri parçalarını birbirine ekleyerek mümkün olduğunca küreye benzeyen bir şekil elde etmek istediğimizi biliyoruz. Önemli olan, altıgenlerle ya da daha çok kenarlı çokgenlerle düzgün çokyüzlü inşa edilemeyeceğini anlamaktır. Çünkü yandaki şekilde görüdüğü gibi bir tepe noktaları ortak olan üç altıgen düzlemi oluşturur, yani 360 derecelik açı ortaya çıkar. Düzlemi çokyüzlü bir katı cisim şeklinde kapatabilmek için her tepe noktasındaki açıların toplamının 360 dereceden küçük olması gerekir. Buna göre sadece altıgen yüzlerden oluşan bir futbol topu inşa etmek mümkün değildir. O halde limit durumu oluşturan altıgenler yerine hemen bir önceki çokgenler gözönüne alınabilir. Dolayısıyla x sayıda beşgen ve y sayıda altıgenden oluşan bir futbol topu inşa edilmeye çalışılacaktır. Bu durumda aşağıdaki özellikler yazılabilir: F = x+y, =,12.,5 +6 . , =,13.(5 +6 ) Euler Futbol Topunu Yaratıyor Şimdi gerçeğe dönelim ve topa yakından bakalım. Standart top düzgün altıgen ve beşgenlerden oluşur. Yani top düzgün çokyüzlü (platonik) bir cisimdir.Dikkat edilirse her tepe noktasında 3 parçanın birleştiği görülür. “Bu parçalar neden birbirinden farklıdır?”, ya da “Neden sadece beşgenlerden ya da altıgenlerden oluşmamaktadır?” sorularına yanıt bulmak için öncelikle düzgün çokyüzlü cisimlerin yapısına bağlı olan teoriyi dikkate almak gerekir: M.Ö. 360 yıllarında Platon’un “Timaeus”adlı kitabında tanımladığı üzere düzgün çokyüzlü (platonik) cisimler her köşesinde aynı sayıda birbirine eş düzgün çokgenin kesiştiği üç boyutlu cisimlerdir. Bu tür çokyüzlülerin en küçüğü, 4 tepe noktası, 6 kenar ve 4 eşkenar üçgenden (4 üçgensel yüzden) oluşan düzgün dörtyüzlü piramit ve en büyüğü 20 üçgen Düzgün Çokyüzlüler Bu özellikleri elde etmek oldukça kolaydır, çünkü x beşgen ve y altıgenle toplam 5x+6y kenar elde edilir ve her kenar, topu oluşturan iki yüz tarafından paylaşılır; aynı düşünce biçimi tepe noktaları için de geçerlidir. Burada SA+F = 2 Euler formülü uygulanırsa, x = 12 elde edilir. Çözümde y yok oluyor, fakat artık 12 beşgen olduğundan eminiz. Bundan sonrası için değişik yöntemler var: Yöntem 1: Yukarıda belirtildiği gibi üç altıgen yan yana getirilemediğine göre, her tepe noktasında en az bir beşgen bulunmak zorunda, yani her tepe noktası en az bir beşgene aittir. 12 beşgen olduğundan, topta en çok 60 tepe noktası var demektir. Topun mümkün olduğu kadar yuvarlak olması için, maksimum sayıda tepe noktası olmalı, yani S = 60 olmalı, fakat burada =,13.(5 +6 ) olduğunu bildiğimize göre y = 20 elde edilir. Yöntem 2: Her noktada 3 altıgenle katı cisim kapatılamadığına göre, kapatılabilir olma koşulunun sağlanması için her noktada, ya (a) 2 altıgen ve bir beşgen (120o+120o+108o ) ya da (b) bir altıgen ve 2 beşgen (1200+108o+1080) ya da (c) 3 beşgen (108o+108o+108o) olabilir. Dikkat edilirse, en uygun durum, yani küreye en yakın olan durum 360 dereceye en yakın olan durumdur, bu ise (a) şıkkıdır. Bu durumda her tepe noktası bir ve yalnız bir beşgene aittir, yani tam olarak 60 tepe noktası var. O halde yöntem 1’de olduğu gibi y = 20 sonucu elde edillir. Yukarıdaki (c) durumu (sadece beşgenlerin yer aldığı durum) bizi 12 beşgen yüzden oluşan bir katı cisme götürür. Bu 12 yüzlü ve 20 tepe noktalı “dodecahedron” dur. Şekle baktığımızda bunun bir futbol topuna benzediğini ama gerçek bir futbol topu olmadığını görürüz. (b) durumunun hangi katı cisme tekabül ettiğini bilmiyorum, ancak (a) durumu bir cisme tekabül edecekse, bu cisim 12 beşgen ve 20 altıgenden oluşan uçları kesilmiş en büyük katı cisim olan futbol topudur. Artık tamam, 12 beşgen ve 20 altıgenden oluşan yandaki patronu dikmekten başka iş kalmadı, burada A = 90 (kenar sayısı), yani 90 adet dikiş var. Kaynakça: Barış Paksoy, Euler Formülü ve Platonik Cisimler , İstanbul Erkek Lisesi Dergisi 2010, sayfa 16 Hakan Dilek, Top Yuvarlaktır, Karakutu Yayınları, 2005 Turhan Selçuk, AbdülcanbazTop Yuvarlaktır, Cafe City Yayınları http://mathematiques.acbordeaux.fr/profplus/clindoeil/curiosites/mathsbuis/balfoot.pdf http://dev.ulb.ac.be/urem/IMG/pdf/duCubeAuBallonDeFoot.pdf CBT 1306/ 13 30 Mart 2012