Katalog

Muhasebe hilelerinin oıtaya çıkanlması dar muhasebenın bırçok Benford Yasası ve gizemli bir olgunun geçmişten günümüze bilimsel serüvenl.... ve bu alanlarda alanındakı verüenn Benford yasasını ızledıgını yasadan sapmalann standart ıstaüs Melih Erdoğan (*) undan tam 120 yü once, yara 1881 yüında, "Amencan Journal of Mathemaücs"de astronom ve matemaukçı Simon Navrcomb ımzasıyla üa sayfalık bır makale yayımlandı Newcomb makalesınde tuhaf bır olgudan soz edıyordu Henuz hesap makmalannın kullanümadıgı, hesaplama ların tablolar yaıdımıyla yapüdığı bu çagda, Logantma tablolannın ılk sayfalannın dıgerlennden daha kırlı, daha yıpranmış, sonuçta daha çok kullanümış oldugu Newcomb'un dıkkatını çekmıştı Nevvcomb bu ganp durumu araştnnaya başladı, kullanılan bu tablolarda araştınlan venler ügınç bır bıçımde, en çok " 1 " üe başlıyordu Ogrencüenn ve araştırmacılann 2'ye gore 1,3'e gore 2 gıbı kuçuk başlangıçlı sayılar uzerınde daha çok çahştıklan ortaya çıkıyordu Nevvcomb, bu çıkarsamasını şu şeküde formule etü "D'ye eşıt olan herhangı bır anlanuı ük rakamın bır kumeden çeküme olasüıgı aşagıdakı gıbı hesaplanır" =loglO(l + l/D), D=l,2, 9 Ornegın 3'un ük rakam olma frekansı Iogl0(l + 1/3)=0,12494 Nevvcomb'un makalesınde ortaya koydu^u formul o çağda hıç kımse ıçın ınandıncı degıldı, ve makale, General Hectnc'te çalışan fızıkçı Fıank Benford, 1938'de logantma tablolan uzerınde aynı gozlemı yapıncaya dek yanı 57 yıl boyunca tamamen unutuldu Ilgmç olguyu fark eden Benford, tum zamanı ve tum enenısıyle bu gozlemını çok buyuk sayı laıda ven yardımıyla test etmeye gırışü Çalışması, hıdrolojıden Amerıkan basketbol lıgı ıstatıstıklerıne, kımyasal ele mentienn atomık agırlıklanndan gazete satışlanna, nehırlenn uzunluklarından nufus sayımlanna kadar 300'den fazla ve çok farklı alanlardakı 20229 gozlemı ıçerıyordu ve anlaşümaz bıçımde bu olçumlerm sonuçlan 890 veya 960 gıbı sayılardan çok, 120 veya 140 gıbı sayılar oluyordu Butun orneklerde " 1 " her zaman klasmanın başındaydı Benford, Nevrcomb'la aynı logdrıtmıkolasılık yasasına ulaşmışti Benford olağanustu bır emek sonucu topladıgı ve tablolastırdıgı verüerı "Proceedıng of the Amencan Phılosofical Socıety"de 1938 yüında bır makale olarak yayımladı Anlamlı ük rakamlar tablosu (sayüann ıçınde en solda konumlanmış olan) artk kendı adıyla anüacak olan "Benford Yasası 'yla tam bır uyum ıçındeydı Benford'un belırlemesıne gore ozeUıkle " 1' rakarm anlamlı bır ük rakam olarak 3 uzen 1 olarak ortaya çüoyordu! Aşagıdakı tablodan ve çızımden de (Tablol ve çızım 1) gorulecegı gıbı, 1 'ın bır sayı ıçınde ük sırada olma şansı, 9'a gore 6 defa daha fazla ıdı (30,1 e karşı 4,6) B durmektedırler Bu ışlem sabıt bır katsayı yardımıyla basıtçe gerçekleştmlebüır Omegın, DM para bırımınden oluşan bır fiyat lıstesı, $ veya FYank'a ya da Yen'e çevnldıgınde, anlamlı ük rakam, bır paradan dıgenne radıkal bır bıçımde degışmekte oysa hesaplanan frekanslar anlamlı şeküde degışmemektedır Bu açıklamalardan heyecana kapüıp, loto, pıyango gıbı şans oyunlannda kuçuk rakamla başlayan sayüan tercıh etmek yanüücı olur Çunku bu gıbı şans oyunlan Benford yasasını ızlememektedır Her rakamın frekansı bırbınne eşıtür tksel testlenn kullanümasıyla hızlı bır bıçımde ortaya çücanlabüeceğını gosterdı Benford modelıne uygun olarak olçumlendıgmde (bır dıger deyışle, Benford modelınden uzaklıgın uygunluk testlenyle olçulmesıyle ), muhasebenın normal venlerıyle, hüelı venlen arasmda çok guçlu farklar ortaya çüayordu Ç i ı i m 4, Mark Nıgnnı'nın bır uygulamasına dayalı gerçek vergı venlennı, hüelı nakıt odeme ve tahsüat verüennı ve 743 gonullu ogrencının alu haneL olarak urettüden tamamen rassal sayüann frekanslannı gostermektedır Çızımden gorulecegı gıbı, Benford yasasını sadece vergıyle ügüı gerçek verüerden çekümış anlamlı sayüann frekanslan ızlemektedır Daha sonra, Nıgnnı'nın testlennın yardımıyla New York'takı 50 Brooklyn hüeler servısı, bu modeh uygulayarak, New York'da Çlzlm 2. Üç farklı verl topluluğunun bulunan yedı şırketteb muhasebe sahtecüüdennı ortaya çı* 40 frekansı kartü Sonuçlara baküdıgında, sahtekarhk yapanlar, genelde 1 le başlayan venlen çok az uretıyorlar, buna karşın, 6 üe başlayanlan daha çok uretıyorlardı Bu ük başandan sonra, Ameje 20 v nka'nm çeşıtlı eyaletlenndeh vergı servıslen Nıgnnı'ye baş£ 10 vurarak danışmanhk ıstedüer ve bu modelı kullanmaya başladüar Kanunca burada sorular yanıtlannı bulmaktadır Asbn0 1 2 3 4 5 6 7 8 da bınncı soru, yanı muhasebeyle Benford yasasının nasü bır \Lototaydan n,ı n,ı n,ı 11,1 n,ı 11,1 H,1 11,1 n,ı ügısı var dıye sormak gereksız büe olabüır Bu yasanın uygul.dzrf<fa0rtmı 36 12,9 8,7 8.1 7,7 7,4 6,8 6,4 6 laması ıçın sayüan bu denlı çok kullanan muhasebenın çok Momağnttk. 47,2 18,7 5,5 4,4 6,6 4,4 3,3 4,4 5,5 uygun bır alan oldugu açüc degü mıdır' Ote yandan gerçekten bu model, ozelhkle hüelenn ortaya çücanlmasmda etkm 35 Çlzlm: 3. olarak kullanüabüır Çunku bır olayda rakamlann ortaya çüoş 30 Benford ve komblne verller südüdan yanı frekanslan, Benford yasasına uymayan bıçımde 25 degışıyorsa, bunu yaratan sıstemaük bır dış etken var demek20 nr Bu, muhasebe venlen uzennde "kasıtlı" bır gınşımın, yanı 15 10 venlen dogal akışlannın dışına çıkartmaya dolayısıyla bozma5 ya yonebk bır eylemm açüc kanıtıdır Bu durumu açüdayan sozcuk de "hüe"dır 1 Ylk Rakam [ hllııii 3 4 5 6 7 8 9 \Bmfordratmı 30 117,612,5 9,7 7,9 6,7 5,8 5,1 4,6 toferortnfammı 3 1 ^ 4 , 2 8,4 7,9 8,5 7,6 7,1 7,3 7,5 (111) Ancak ügınç bır şekJde, bu gıbı Benford yasasını dogruldmayan ven toplulukları da başka ven topluluklanyla kombme edddüdennde bu serüerın ortalamalannın frekansı Benford yasasına boyun egmektedır Bu fenomen yasayı yenıden formule etmektedır Çizim 2, Benford yasasını ızlemeyen, loto sayüan, ozel bır evrenın dagüım egrısı ve bır atom agırlıklan tablosuna aıt uç farklı verı topluluğunun frekanslannı gostermektedır Çizlm 3'te ıse bunlann ortalamasıyla, Benford kuramsal frekanslannın kdrşüaştırmasını goruyorsunuz Uç farklı alandan verı topluluklannın kombıne edümesıyle elde edüen verüenn Benford yasasından hareketle muhasebe hüelennın oı taya çıkanlması ıçın, bu yasanın ongordugu ük rakamlann frekanslan üe gerçek bır muhasebe evrenınde ortaya çıkan ılk rakamlann frekanslannı karşüaşürmak yeterlı olacakur Ancak bunun ıçın aşagıdakı adımlardan oluşan bır yol ızlemek gerekır • Muhasebe evrenınden orneklem seçımj • Gozlemlenen frekanslann test edümesı • Yargıya vanlması * • Kanıüayıcı verüerın araştırüması Sonuç i Tablol; Benford yasauna gore en solda yer alan rakamlann kuramsal ortaya çıkıs frekanslan Bır sayınm ük değerlen D Dgüı &Bkanslan 1 %30,l 2 %17,6 4 %9,7 5 %7,9 6 %6,7 7 %S,8 9 %4,6 Goruldugu güoı matematıksel bır kuşkuculuk, sayısal kullanımlann etküı bır aracına donuşebümektedır Gerçekten şaşırtıcı hatta gızemlı bır yasa, duyarlı alanlarda veya buyuk olasüüda hüe yapümış olan alanlarda denetçıye yon vencı yenı bır araç olarak, katkı saglayabümektedır Denetçının bu sayısal analızı bügısayar programına donuşturerek deneumını çok daha etkmleşurebüecegı ve hızlanYaıının devamı 21. sayfada Nüıayet 1996 yüına gelındıgınde AÜanta Georgıa Teknolojı Enstıtusu matemaük profesoru Ted Hlll, "Staustıc Scıence"da yayımladıgı makalesınde, Benford yasasını matematıksel olarak kanıtladı Bu kanıtlamada temel duşunce, ortak olarak kabul gormuş olan "verüenn degışmezlık olçusu"dur Butun sayüar belırlı bır bınme bağlı olarak ıfade edüırler Ancak eger bur anlamlı ük rakamlar yasası varsa o, kullamlan (veya seçüen) bırımden bagımsız olmalıdır Ornegın, bu yasa metnk sıstemde de, Ingüız olçu bınmınde de ışleyebümelıdır. * 35 30,1 ortalaması, sonuçta Benford kuramsal frekanslanyla aynı egılımı gostermektedırler Muhasebe Hileleri ve Benford Yasası Şu anda "Dallas, Southern Methodıst Unıversıtesı"nde muhasebe Profesoru olan Mark Nigrini, ük rakam olgusunun ügınç ozellıgmın, muhasebe hüelennın ortaya çıkanlmasında bır yontem olarak kullanüabüecegını duşundu Ilk bakışta, bu ügı çehcı ve gızerrüı olgunun muhasebe ile nasü bır bagmtsı olabüecegı akla gelebüır Bır dığer soru da şu olabüır Neden muhasebe hatalan degü de muhasebe hüelerı' Bu sorulann yanıtlannı bulabümek ıçın tekrar Mark Nıgnnı'ye donelım Nıgnnı, bu kuUanımı ve sonucunu dogrulayan çok sayıda ampırüc kanıt topladı çok sayıdakı gozlemde anlamlı ük rakamın frekansı etkın olarak Benford yasasını ızlıyordu Araşnrmalanra genışleten Nıgnnı, 1992 yümda yayımladıgı muhasebe doktora tezınde Benford yasasının benzenmme dayalı bır kullanım onerdı Tezınde, sauşlardan gıderlere ka Çhlm 4. Benford ve hlleler 40 ş 30 1» £ 20 Çlzlm 1 Blr loyının en solundakl rakamın ortaya cıkif frekanslan eğnsl | 1 lilıı. 2 3 4 5 6 7 II 8 5.' 4,6 9 Başka bır deyışle, bu sıstemler bırbırlerme donuşturulduklerınde de yasa geçerlı olmalı dır Deneysel gozlemler gostermektedır kı, ven toplulukları, başka bır bınme donuşturuldulderınden sonra da aynı şeyı yapmayı sur Yfc rakam D Benford yasası 30J 17,6 12,5 9,7 5 7,9 7,8 6U 30£ 17,8 12,6 9,6 6 6,7 7 5,8 5,6 1 12 8 5,1 g 4,6 Gerçek venler 6,6 233 5 2,9 4,5 Hileh venler • Rossal sayılar o 14,7 1,9 10 0 10,4 9,7 13,3 0 \8 9,7 8,4 733/14