Katalog

Düşünme biçimimizi degiştiren bir adam: Bezier Cörüntü bilimine yaptığı katkı Pierre Bezier'i özel bir yere oturttu ve daha sonra bilgisayar grafiğinin en prestijli ödülünün sahibi yaptı. Ergun Akleman(*) yd once bir toplantıya gıtmıştım Toplantının şeref konuklarından bırı dc Pierre Bezier ıdı O sıralar Be zıer yuzeylerını bılıyordum ama bu yuzeylerın gonıntubılıme katkısuu tam old rak kdvrddıgım soylenemezdı Konferan sın kokteylınde yalnız başına meyve suyu ıçıyordu Yonına gıttım bezier yuzeylerı hakkında bırkaç nezaket cumlesı soyle dım Agır bir Fransız aksdnıyla ' Evet, benım yuzeylerım çok tutuldu Şırndılerde dyakkabı yapımında bıle kulldndıkldrını duydum dedı Bu kadar ydygınlaşması na kendısı bıle ınanmıyor gıbıydı Bir ıkı mutevazı cumle daha soyledı 7 Bezier benı pek etkılememıştı Hal bukı aynı toplantıdd Htiseyin Yılmaz ve Sheeram Abhyankar ıle tanıştnıştım Gozlerım kamaşmıştı Huseyın Yılmaz ın kokteyl sdlonurid gırdıgını gorunce onun yanına gıttım Bezier yı unuttum gıttı Bugun Bezier yuzeylerını en azın dan on defa derslerde anlattıktan sonra Bezier m goruntubılıme katkısmın en azından Bezier ın kendısı kadar mutevazı oldugunu rahatça soyleyebılıyoıum Aynı zamanda da her geçen gun bezier ın kat kasının goruntubılım ıçın ne kadar onemlı oldugunu farkedıyorum Yanı Bezier gun geçtıkçe gozumde buyuyor guna daır bılgıyı bıze kolayca verıı Bu dogru x=0 ıçın y=3 ten ve x=l ıçın y5ten geçen bir dogrudur Ben bunu yazarken hıç hesap yapmadım Denkle mın katsayıları 3 ve 5 bdnd bu bılgıyı dı rekt olarak verdı Bezier polınomlannın kdtsayıları tanımladıkldrı egrı ya da yu /eyın şeklı hakkında onemlı bıl gıler verırler Sadece bu kadarla da kalmaz Bu katsayüan çok az degıştırırsenız egrı yd da yuzeym şeklı de çok az degışır Ortaokuldan berı bıldıgımız denkelemde ıse bu soyle dıkleıım geçerlı degüdır Katsayılara bakıp ortaya çı kacak egrı ya da yuzey hak kında bir şey soylemek mumkun degıldır Katsayıları çok çok az degış tırdıgınızde dahı bambaşka bir egrı ya da yuzey çıkabılır ortaya Şekıl ıle denklem arasmda ılışkı kurmak bence goruntubüımm genelde bılıme yaptıgı en buyuk katkılardan bı rıdır Renault otomobü firmasında yonetıcı olan Bezier bu fıkn durup dururken orta ya atmamıştı tabıı Amacı ardbdldrmın şekıllerını tasarlanmasını kolaylaştırmaktı Arabalarınşe kıllerı matematık denklemlerle ıfade edılıyorlardı ama polınomların klasık ya/ılışı arabanın şe kılleıını tasaılamakta zorluk çıkanyordu Bir çozum ararken 1960 ların ortalarında bir oncekı paragrafta kısdca bahsettıgım yenı yazım bıçımını buldu Aslında bu ya zım bıçımı Bezier den once bırkaç defa bulunmuştu Cıtroen firmasında çalışan deCasteljau da 1950 lerm sonlarında aynı tur denklemler bulmuştu Fakat deCasteljau buluşunu yayınlamamış sadece fırma ıçmde doldşan bir rdpoı yazmakld yeün mıştı Bugun genelde BersteınBezıer ya da Bersteın Bezier deCasteljau polınomları dıye bılmır bu denklemler Bu denklemler kullanılarak elde edılen egrı ve yuzeylere de Bezier ya da deCasteljau egrılerı ya da yuzeylerı denır Matematık denklemlerm cısımlerın şekıllerını tanımlamak ıçın kullanılması tkmcı Dunya Savaşı yla başlamıştı Savaş tan once buyuk gemüerın ve uçakların pldnkrı aslına uygun bir şekılde splıne denen tahtadan ya da metaldan yapümış egrdebılen cısımler kullanılarak çızdıyor du Bu planlar son derece buyuk oldukları ıçın kocdman hangarlarda saklanıyordu flancıDun ya Savaşı sırasm da planların saklandıkları hangarların bir duşman ha va saldırısında tahrıp edılebüecegı korkusu bu planldrın basıt denklemler olarak ıfade edılmesı geregı nı çıkardı Denklemlerı saklaması kolaydır Denklemın tıpını bıhyorsanız sadece katsdyılan bir k âg ıda uçak firmasında çalışan Malcolm Sabin Schoenberg ın matemdtık splıne larını vektor degerler aldcdk şekılde genışletmce parametrık denklem kavramı dog du Parametrık splıne ları kullanmak şe hllerı eksen takımlarından bagımsız tasarlamayı sağladı Parametrık splıne lan klasık denklem bıçımınde kulldnmdk oncekı paragraflarda açıkladıgım gıbı çok tehlıkelıydı Klasık polınom denklemleıınde katsayılar şekıl hakkında hıçbır bılgı ıçermıyorlardı Şekıl katsayılar bıraz degışınce daha olaganusru degışebılıyordu Denklemı sakla mak demek katsayılan sdkldmak demek olduguna gore katsayıkrdd yapılacak ufak bir hata dahı buyuk bir malıyete neden olabılırdı Bezier'e borçluyuz! Bezıeı nm şekıl ıle denklem arasın da ılışkı kurma fıkrı duyulur duyulmaz Bsphnelar gelıştırıldı Unıversıty of Wısconsın Madısondan Carl De Boor Unı versıty of Utah dan Richard Riesenfeld ve doktora ogrencısı Brian Barsky Unı versıty of East Anglıa dan Robin Forest, Unıversıty of Arızona dan Gerald Farin 70 lerdekı çalışmdldrıyla kısa zdmanda Bsplıne lan kulldnışlı hale geldıler Pdrdmetrık polınomlaıın dolayısıyla da BSplıne ve Bezier polınomlannın onerrüı bir problemı daha vardı Inanma yacaksmız ama o kadar guçlu gozukmelerıne karşın parametrık polınomlar basıt bir çemberı temsıl edemezler Çember çızmek ıçın sınusler gıbı polınom olma yan denklemlere ya da kesırlı polınomla ra ıhtıyaç vardır Non Unıform Ratıonal B Splıne lar (eşıt aralıklı olmayan ve kesırlı BSplıne lar) ya da kısa adlanyld NURBS çember ya da kure çızebılmek ıçın ortaya aüldı Şu anda bügısayar ydrdımıyla ge ometrık tasarım programının çogunda NURBS kullanılıyor Eger yuksek derecelı polınomlar daha anlamlı bir şekılde yazılmasalardı boylesme kullanışlı uç boyutlu tasarım programları yazdbılmek de mumkun olamayacaktı Bugun ekran ba şında rahatça uç boyutlu cısımler tasarla yabılıyorsak bunu buyuk olçude Bezı er nm katkısına ve bulgusunu bılım dunyasıyla paylaşmasma borçluyuz Not: Bezier 1980 de Bılgısayar Graü ğı nm en prestıjh odullermden hınnı Steven A Coons Odulu nu dldı Coons tan Ivan Suther landın MlTtekı doktora danışmanı olnidi,ı ne denıyle ddha once hsaca bahsctmışüm Coons aynı zamanda Bügısayar Yardmvyla Uç Boyutlu faiarun m da oncusudur 1lerde başka bu yazı da da onun katkılarmdan bahsetmeyı planlıyo rum Coont a ek olarak ydzımm bdşmdd bah settığım Abhyankar ıle Yılmaz m hm olduklannı ve kathlannı merak edıyor olabıhrsmız Bu yazı dızısı ıçmde onlardan da bahsetmeyı planlıyo rum Çok basit, ama önemli Bezier ın kdtkısının mutevazılıgınd karşın çok onemlı oldugu ıddıası ılk ba kışta tutarsız gıbı gorunse dahı bu olay bı lımde çok rastlanan bir durum Çok onemlı buluşların pek çogu aslında çok basıttır Onemlerı duşunme bıçımımızı degışurmelerınden kaynaklanır Bezier ın duşunme bıçımımızı nasü degıştırdığını dnlatması çok basıt Ortaokuldan berı devamlı karşımı za çıkan polınomları başka bir bıçımde yazdı Basıt bir ornek verırsem bırmcı de receden bir polınomu y 2x+3 şeklınde yazabılırız ama ılla da boyle yazmamız gerekmez Aynı polınomu başka bir şekıl deornegıny 3 (lx)+5x şeklınde deyazmamızmumkun Bırıncı şekıldekı yazış ortaokuldan berı alıştıgımız bir yazış şeklı oldugu ıçın ılk bakaştd ddhd tanıdık gelıyor ama bun ca senedır o tur denklemlerı gormenıze ragmen bu denklemın tanımladıgı dogru nun nasıl bir dogru oldugunu elını?e kâgıt kalem almadan anlaydmdzsımz ıkıncı denklem ıse dogrunun nasıl bu şey oldu 563/18 Bezier eğrileri Bezier 1970 te bu bılgıyı yayınlayınca tabıı deCasteljau nun da benzpn bir buluşu oldugunu hatta ıkısmden de once Bersteın ın bu fıkrın matematık çatısını ha oıtaya çıktı yeter Cebınızde taşıyabılırsınız Matematık denklem olarak oncelerı daıre elıps parabol ve hıperbol gıbı şekıllerı veren ıkmcı dereceden kapalı denklem ler kullanıldı Fakat 1960 lara gelındıgınde bu denklemlerm kısıtlı oldugu dçıkça ortaya çıkmıştı Splıne larm şeklı parça pdrçd elıps parabol ya da hıperbol kulla nılardk elde edılemıyordu Uraversıty of Wısconsın Madısonda ogretım uyesı olan Iso Schoenberg splıne ların şeklının yuksek dcrecelı polınomlar kullanılarak elde edılebılecegını gostenp denk lemlerını matematık splıne dıye adlandır dı Fakat Schoenberg m splıne larınm uretebılecegı şeküler eksen tabmlarının seçımınden etküenıyorlardı Boeıng uçak firmasında çalışan Ferguson ve Brıüsh <ergun@vız tamu edu>