Katalog

6 Akademi 1 Mart 2017 Çarşamba İspat fikri niçin Antik Yunan uygarlığında ortaya çıktı? Sefa Feza Arslan Bu ülkenin bilim insanları, felsefecileri, sanatçıları, akademik özgürlük ilkesini ayaklar altına alan rektörlerin oluşturduğu listelerle, yüzer yüzer üniversiteden uzaklaştırılırken bu soruyu sormanın tam zamanı: İspat fikri ve aksiyomatik sistem niçin bir otoriter, teokratik veya monarşik rejimde değil de demokrasinin tezahür ettiği, Cornelius Castoriadis’in deyimiyle “modern anlamıyla bir devlet olmayan Antik Yunan polisi”nde ortaya çıktı? Ciddi bir matematiksel bilgi birikimin olduğu Mezopotamya, Mısır, Çin veya Hint uygarlıklarında, çok önemli matematiksel bilgilerin varlığına karşın, bu bilgilerin doğruluğunu reddedilemeyecek bir biçimde gösteren net bir ispat fikrinin ve matematiğin alametifarikası olan aksiyomatik sistemin çık lmamış olmaması nasıl açıklanabilir? Aksiyomatik bir yapı olarak matematik ve ispat Bugün matematik deyince daima bir aksiyomatik sistemden söz ediyoruz. Bir matematikçinin matematik yaparken, ilkel (primitif) kavram adı verilen bazı tanımlanmamış kavramlar ile doğruluğu ispatlanmadan kabul edilen önermeler olan aksiyomlara dayanarak, mantıksal çıkarım kuralları ile yeni teoremler ürettiğini söyleyebiliriz. Dolayısıyla ilkel kavramlar ve aksiyomların temelini oluşturduğu ve elde edilen her teoremin, üzerine konulmuş bir tuğla olarak düşünebileceği bir yapıdan söz ediyoruz. Çoğu zaman bir matematikçi bu yapı üzerinde üst katlarda çalışır ve temel üzerine çok da kafa yormaz. Amacı yapının üzerine yeni tuğlalar koymaktır. Bazen bunu yeni bir tanım ile yapıya farklı bir yön vererek, bazen o aksiyomatik sistem içerisinde doğruluğu tartışılmaz yeni önermeler bularak yapar. Yeni bir önerme keşfettiğinde, bunu bir teoreme dönüştürebilmek için daha önce ispatlanmış teoremlerden ve yapının üzerinde yükseldiği temelden mantıksal çıkarım kuralları ile bu önermeyi elde etmeye çalışır. Diğer bir deyişle önermeyi ispat eder. Bu mantıksal çıkarımların doğru yapılması yapının kusursuzluğunu belirler. Hermann Weyl, mantığın, matematikçinin düşüncelerini sağlıklı ve güçlü tutmak için uyguladığı hijyen olduğunu söyler. Bu şekilde ispat edilen teorem, varsayılan temel altında mutlak bir doğru dur ve yapının üzerine konulmuş yeni bir tuğladır. l İspatın ortaya çıkışı ve Öklid Bugün elimizdeki ampirik verilerin ışığında, bir aksiyomatik sistem olarak matematiğin ve bu ispat anlayışının ilk olarak Antik Yunan’da ortaya çıktığını söyleyebiliyoruz. MÖ 600 ile MÖ 300 arasında. Tam da 1922 İstanbul doğumlu memleketlimiz, ailesi mübadele ile İstanbul’dan ayrılmak zorunda kalan felsefeci Castoriadis’in “üç yüzyıla dayanan demokratik özkurumlandırma süreci” dediği, felsefe ve demokrasinin de doğduğu dönemde... İşte bu dönemin sonunda, MÖ 300’de, İskenderiyeli bilim insanı Öklid’in yazdığı 13 ciltlik Öğeler kitabı, tarihte matematiği bir aksiyomatik sistem olarak sunan ilk kitaptır ve modern bir matematikçinin kullandığından farksız bir ispat anlayışı vardır. Dünyanın birçok yerinde, matematik öğrencilerine aksiyomatik yapı ve ispat fikri hâlâ bu kitap aracılığı ile verilmektedir. Birinci kitap, tanımlar ve aksiyomlar ile başlar. Modern matematikle tek farkı, tanımlanmamış ilkel kavramların olmaması, her şeyin tanımlanmaya çalışılmasıdır. Örneğin nokta “hiçbir parçası olmayan” biçiminde tanımlanır. Burada “parça nedir?” diye sorulabilir. Bu şekilde her tanım yeni tanımlara ihtiyaç duyacağından, bu sonsuz döngüden kurtulmak için modern matematik bazı kavramları tanımsız kabul eder ve onlara ilkel kavram adını verir. David Hilbert, Öklid geometrisinin temellerini yeniden yazarken, noktayı bir ilkel kavram olarak kabul etmiştir. Bu nüans dışında, Öklid’in kitabı kusursuz bir aksiyomatik yapı ve eksiksiz ispatlar sunarak, birinci kitabın sonunda Pisagor teoremini ispat eder. Bir dik üçgenin dik kenarlarının karelerinin toplamının dik açının karşısındaki kenarın karesine eşit olduğunu söyleyen Pisagor teoreminin, Babil ve Çin uygarlıklarında da hatta An tik Yunan’dan önce bilindiği düşünülüyor. Fakat Öklid’de gördüğümüz gibi, bir aksiyomatik yapı içerisinde verilmiş eksiksiz bir ispatını göremiyoruz. 20. yüzyıl içerisinde bulunan ve çözümlenen kil tabletler, papirüsler Mezopotamya ve Mısır matematiğine ilişkin önemli bilgiler verdi. Sanki Türkiye bilime değer veren bir ülkeymişçesine beş liralık banknotlar üzerinde fotoğrafı yer alan önemli bilim tarihçimiz Aydın Sayılı’nın da “Mısır ve Mezopotamyalılarda Matematik, Astronomi ve Tıp” gibi önemli çalışmaları oldu. Ancak Sayılı’nınkiler de dahil, şu ana kadar yapılan çalışmalar, bu uygarlıkların hiçbirinde aksiyomatik yapı ve onun içerisinde ispat fikrinin ortaya çıkmadığını gösteriyor. lAntik Yunan’da farklı olan neydi? Castoriadis, bu verilere dayanarak, Martin Bernal’in Kara Atena’da yaptığı gibi Antik Yunan’ı sadece Mısır veya Mezopotamya etkisi ile açıklayan yaklaşımları reddediyor. Kültürler arasındaki etkilerin her zaman olacağını, ama bu etkilerin Antik Yunan’da felsefenin, demokrasinin, ispatın neden ortaya çıktığını açıklayamayacağını vurguluyor. Ona göre, Antik Yunan’da rahiplerin ve büyücülerin gizli, ezoterik bilgisinin yerini, isteyen herkesin üzerinde çalışabilmesine açık kamusal bilgi alır. Artık “düşünmek, hahamların, papazların, mollaların, saray erkânının ya da çilekeşlerin değil, aynı hareketin yarattığı bir kamusal alan içerisinde tartışmak isteyen yurttaşların harcıdır.”1 Bu, kutsalı olmayan sınırsız sorgulama ve logon didonai (“kamu önünde söylediğimiz ve yaptığımız her şeyin hesabını ve hakkını verme”) ile süren “üç yüzyıla dayanan demokratik özkurumlandırma süreci”nde felsefe ve ispat fikri ortaya çıkar. Castoriadis, bu süreçte ekollerin değil de Thales’ten başlayarak özerk düşünürlerin birbiri ardı sıra çıkmasını da bu sürecin bir özelliği olarak görür. Castoriadis, bu Aksiyom: Doğruluğu ispatlanmadan kabul edilen önerme. Aksiyomatik yapı: Bazı primitif kavramlar ve aksiyomlara dayanarak, mantıksal çıkarım kuralları ile yeni önermeler elde edilen yapı. Öğeler: Öklid’in MÖ 300’de yazdığı, tarihte matematiğin aksiyomatik bir yapı olarak sunulduğu ilk örnek olan 13 ciltlik kitap serisi. ?KİMDİR Sefa Feza Arslan, Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi, Matematik Bölümü’nde öğretim üyesi. EğitimSen üyesi. Demokrat Haber sitesinde köşe yazıyor. 300 yıllık süreci ve onu yaratan maddi koşulları anlamaya çalışırken kesinlikle Avrupa merkezci değildir. Bu sürecin, Heidegger’in iddia ettiği gibi Yunancanın felsefeye yazgılı olması ile falan açıklanamayacağını ve daha da iyi bir Yunanca konuşmuş olan Spartalıların neden felsefeci yetiştirememiş olduğunu sorgular. Felsefenin, ispat fikrinin diğer uygarlıklarda ortaya çıkmaması, diğer uygarlıklarda bu sınırsız sorgulama ve kamusal tartışmayı engelleyen yapıların, faktörlerin olmasıdır. Helmut Seidel de kaskatı bir dinin ve sıkı örgütlenmiş bir rahip kastının olmamasının felsefenin ortaya çıkışındaki öneminden söz eder ve felsefenin “eskilerden gelen törelerin daha gevşek olduğu ve göreneklere o denli katı uyulmadığı Küçük Asya kolonilerinde ortaya çıkması önemsiz sayılmaz”2 diyerek Castoriadis ile benzer fikirleri di lle getirir. Akademik özgürlük olmadan bilim ve felsefe yapılamaz Felsefe de, ispat fikri de otoriter, te okratik veya monarşik bir rejimde ortaya çıkmadı, çıkamazdı. Sınırsız sorgulama dışında bir kutsalın olmadığı İyonya’da ortaya çıktı. Felsefenin, matematiğin doğduğu toprakların mirasçısı olan bizlerin bugün yaşadıklarımız ise utanç verici. Üniversiteyi üniversite yapan felsefenin, matematiğin, ispat fikrinin doğduğu koşulları yaşatmasıdır. Üniversite bu yüzden özerk olmalı ve bu yüzden tek kutsalı düşünce ve ifade özgürlüğü olmalıdır. Bugünkü üniversiteye yönelik ölümcül saldırıya imza atanlar, ortak olanlar, bunu alkışlayanlar, bilimi, felsefeyi, matematiği, bu ülkenin geleceğini, kendi çocuklarının geleceğini de öldürüyor. Tarih bunu yapanları affetmeyecek. n 1 Cornelius Castoriadis, Dünyaya, İnsana ve Topluma Dair, çev. Hülya Tufan (İstanbul: İletişim Yayınları, 2005). 2 Helmut Seidel, “Felsefe Neden ve Nasıl Eski Yunanistan’da Ortaya Çıktı?”, Felsefe Dergisi 2 (1986).