Katalog

www.iku.edu.tr B L M KÜLTÜR VE E TM “Bu berberden kime ne! ” denilebilir. Ancak, bir küme ile matematiksel bir kavram ile ilgileniyorsanız, bu sorunu halletmek o kadar kolay değildir. Aslında Russell paradoksu Epimenides paradoksu olarak bilinen paradoksun kümekuramcı yansımasıdır. Bu, yalancı paradoksudur; kendisi Giritli olan Epimenides’in “bütün Giritliler yalancıdır” iddiasının doğruluğu ya da yanlışlığı hakkında ne söylenebilir. Ya da “bu cümle yanlıştır ” cümlesinin kendisi yanlış mıdır? Bertrand Russell 1901 de daha henüz 28 yaşındayken o günün matematiğinin çelişkilerden yoksun olmadığını bu basit soruyla ortaya koyduğu paradoksla göstermiştir. Bu durum o günün matematiğini ve matematikçilerini sarsmış ayrıca matematikçileri matematiğin temelleri üzerine daha derin düşünmeye zorlamıştır. Ancak yukarıda verilen problemlere benzer uygulamalarda bilinen yöntemler kullanılır. Matematik olarak yaratıcılık pek aranmaz. Yaratıcılık isteyen soruların ortaya konuş biçimleri çoğu zaman kolay anlaşılır değildir, çünkü pek çok çözüm bekleyen problemi anlamak için ileri düzeyde matematik bilgisi gerekir. Ama bilinen yöntemlerle çözülememesine, yaratıcılık istemesine rağmen, hemen herkesin kolayca anlayabildiği problemlerde var. Örneğin, Fermat’nın son teoremi olarak bilinen ve 17. yüzyılda ortaya atılan problemin ifadesi ortaokul matematik bilgileriyle anlaşılacak kadar yalındır: (Fransız matematikçi Pierre de Fermat 16011665) “eğer n ikiden büyük bir tamsayıysa ve x, y, z sayıları pozitif tamsayılar ise Matematik Hakkında Yazmak, Matematik Yapmak “Matematikte yaş çok önemlidir, bir matematikçinin en önemli yılları 40 yaşına kadardır, 50 yaşın üzerindeki matematikçiler matematiğe katkıda bulunmamıştır” Y Prof. Dr. Erhan Güzel [email protected] (İstanbul Kültür Üniversitesi) ukarıdaki görüş ünlü İngiliz matematikçi Godfrey Harold Hardy’e (18771947) aittir. Hardy bu düşüncesini, Nermin Arık tarafından dilimize çevrilen ve TÜBİTAK yayınlarında çıkan “Bir Matematikçinin Savunması / A Mathematician’s Apology” kitabında dile getirmiştir. Kitapta yaşının ilerlemesiyle yaratıcılığının azaldığını kabullenen; yaratıcılık dönemini geride bıraktığını ve artık matematik “yapmak” yerine matematik hakkında yazmak, konuşmak gibi ikinci sınıf bir iş yapmaya kalkıştığını alçakgönüllülük ve hüzünle ifade eden Hardy, bu kitabıyla, belki de yaratıcılığının en sıcak ürünlerinden birini ortaya koymuş oldu. Hardy’nin bu görüşünü destekleyen uygulamalar var. Örneğin, Uluslararası Matematik Birliği tarafından dört yılda bir yapılan Uluslararası kongresinde, yaşı 40’ı aşmamış matematikçilere verilen ve matematikçiler arasında bir matematikçinin alabileceği en prestijli ödül olarak kabul edilen Fields madalyası gibi ya da 1987 yılından başlayarak her iki yılda bir Paul Sabatier de Toulouse üniversitesi tarafından 45 yaşını aşmamış matematikçilere verilen ve matematikçiler tarafından çok önemsenen Pierre de Fermat ödülü gibi... Burada yaptığımız gibi, matematik hakkında yazmak, matematik yapmaktan göreceli olarak kolaydır. Yazarken ya da konuşurken hitap ettiğiniz kişiler önemlidir. Matematikçilere hitap etmek, doğal olarak çok daha zordur. Yazan ya da konuşanın matematikçi olup olmaması da önemlidir okuyucular / dinleyiciler için. Matematikçi olmayanın matematik hakkında söylediği genel ifadeler hoş görülebilir ama özel konulara girmesi halinde, okuyucular / dinleyiciler arasında matematikçiler varsa durum değişir. Ama bir matematikçinin matematik hakkında yazması ya da konuşması ciddiye alınır ve matematikte her zaman yapıldığı gibi yapılan en küçük bir hata eleştirilir. Bu durum matematiğin doğasındaki demokratik yapıya da bağlıdır. Matematik başka hiçbir yerde olamayacak kadar demokratiktir; matematiğin hedefinde her zaman mantık ilkeleriyle doğruya gitmek vardır. Bu, en mantıklı, adil ve ahlaki olanla yönetmek ve yönetilmek gibi özlenen demokrasinin de temel hedefidir. Matematik hakkında yazarken ya da konuşurken birtakım örneklerle ve bu örneklerde kullanılan matematiğin teorik açıklamalarıyla konuyu, matematikçi olarak, kolaya getirmek ve açıklamaların genel olarak anlaşılmamasını da, matematiğin öyle herkes tarafından yapılabilen, anlaşılabilen bir şey olmamasına bağlamak mümkündür. Ama bunu yapmak etik bir davranış değildir. mümkün değil”. Bu durumda öğrencinin matematik dünyası depremlerle dolu olur, yaralar alır. Belki, o yanlış ve bilinçsiz öğretici olmasa öğrenci gerçek matematik dünyasına girebilecektir. Öğretici, öğrencinin algı dünyasını biraz okşasa, öğrenciye sevdirse matematiği, gerçek matematik dünyasıyla tanıştırabilse; örneğin “sen vasat zekâlı birine benziyorsun ama matematikte fena da değilsin. Şunu şunu çözebiliyorsun” dese; belki argo deyimle öğrenciyi gaza getirse, belki çok büyük bir matematikçi olamaz öğrenci ama, matematik aşığı olup ,heyecan duyardı; belki bazı insanlara: “Matematik var ya acayip bir dünya; dizi seyretmeyi bırakın da matematikle uğraşın. Neden boş oturuyorsunuz? Bakın size oldukça heyecanlı matematik problemleri getirdim, bir başlayın şiir kitabı okumuş gibi, müzik dinlemiş gibi, ciltlerle roman okumuş gibi olursunuz; matematiği bir sanat yapıtını yaşar gibi yaşayabilirsiniz. Çünkü bu dünya uzak bir dünya değildir. Bu dünya korkunç bir dünya değildir” diyebilir. Bunun yapılması durumunda matematik yapanların sayısında önemli bir artış olabilir.(Bkz. Matematikle Yaşamak http://phil.metu.edu.tr/ahmetinam/matematik.htm) Matematik yapmaya dört işlemle çözülebilecek bir hesap ya da bir havuz problemi ya da oldukça kolay bir bulmaca ile başlanabilir. Örneğin, sadece toplama işlemi kullanılarak yanıtlanabilecek soruyla: 3 arkadaş paralarını birleştirip bir pizza almaya gidiyorlar. Pizza 30 lira. Her biri 10 lira koyup pizzayı alıp gidiyor. Fakat sonra tezgâhtar pizzanın indirime girdiğini ve 25 liraya düştüğünü hatırlıyor ve çırağına 5 lira verip , “ gidip para üstünü iade etmesini” istiyor. Çırak 5 lirayı 3 kişiye bölüştüremeyeceğini düşünüp 2 lirayı cebine atıyor ve 3 lirayı 3 kişi arasında bölüştürüyor. Böylece 3 arkadaştan her biri pizzayı 9ıar liraya almış oluyorlar. Simdi: 9 x 3 = 27 Çırak da cebine 2 lira attı 27 + 2 = 29 Peki geri kalan 1 liraya ne oldu? Bu soruyu sorma aşamasında yapılan “gereksiz” anlatım nedeniyle problem karmaşık gibi görülebilir, ama hemen herkes tarafından, kısa zamanda kolayca çözülecektir. Ya da hesap yapmanın biraz ötesinde basit matematik bilgi gerektiren, İngiliz matematikçi Bertrand Russell’ın (18721970) yaklaşık 100 yıl önce sorduğu soruyla: “kendisini eleman olarak kabul etmeyen kümelerin kümesi kendisini eleman olarak kabul eder mi ?” sorusuyla matematik yapmak mümkün. Burada matematik yaparken biraz daha karışık bir durumla karşılaşıldığı hemen fark edilir ve sonuç kısa zamanda görülemeyebilir. Bu doğaldır, çünkü burada çoğu kimsenin alışık olduğu bir işlem türü değil matematik kavramlar kullanılmalıdır. Bu kavramlar ışığında, kısa bir süre içinde bu sorunun yanıtının bir paradoks olduğu görülecektir. Aslında bu paradoks, küçük ve uzak bir kasabada kendisini tıraş etmeyen adamları tıraş eden berberin durumuna benziyor. Paradoks, ”Berber kendi kendini tıraş eder mi?” sorusunu sorana kadar çok mantıklı görünüyor: Berber kendi kendini tıraş eder ancak ve ancak kendi kendini tıraş etmez. MATEMATİK HAKKINDA YAZMAK MATEMATİK YAPMAK CBT 142313 / 27 Haziran 2014 Dalgın, heyecansız, anlamsız bakan gözleriyle öğrencilere matematiği zehir eden öğreticiler vardır. Kaşları çatık, garip şeyler yazarlar tahtaya. Ondan sonra korkarak bir soru sorulduğu zaman “aptal bunu görmüyor musun? Bunu anlamayandan matematikçi mi olur? “ gibi aşırı ve gereksiz tepki bile gösterirler. “Allah Allah” der öğrenci kendi kendime, “ne ilahi bir şey bu matematik, herhalde benim buna aklımın ermesi eşitliği sağlanamaz” Bu iddia Fermat’nın, üzerinde çalıştığı kitap olan, Diaphontus’un Aritmetika’sının kenarına aldığı ve çoğunu ispatladığı çok sayıda nottan biriydi .Dikkat edilirse, x= 0,y=0,z=0 ; x= 1,y=0,z=1 ya da x=0,y=1,z=1 bu eşitlik için farklı çözümlerdir, ama Fermat bu tarz basit çözümlerle ilgilenmiyordu. Fermat bu iddianın altına bir de not iliştirmiş: “Çok güzel bir ispat buldum ama buraya yazmak için yeterli yer yok!” Eşitlikle ilgili elimizde sonsuz tane denklem var, deniyoruz ama bir türlü ifadeyi sağlayan (x,y,z) üçlüsü bulamıyoruz. Ancak, ”öyleyse gerçekten Fermat doğru söylüyor” deyip son noktayı koyamıyoruz. Bu çözümsüzlüğün ispatlanması gerekir. Tarihsel sıralamada önce belli değerler; n=3,4,5… için ifadenin doğruluğu ispatlandı. İspatın her doğal sayı için doğruluğu ancak Fermat’ın ölümünden 328 yıl sonra, 1993’te İngiliz matematikçi Andrew Wiles tarafından yapılabildi. İspat üzerinde çalışmaya 10 yaşında başlayan bu matematik aşığı, yaratıcı insan olmasa belki hipotez, bugün hala bir çözüm bekleyenler arasında olacaktı! Ya da çok daha kolay görülen fakat henüz çözülememiş çok daha zor bir iddiayla;1742 den buyana çözülemeyen Goldbach Sanısı ile : (Alman matematikçi Christian Goldbach 16901764) “2’den büyük her çift tamsayı, iki asal sayının toplamı şeklinde yazılabilir” iddiası ile de matematik yapmak mümkün. İstediğiniz kadar deneyebilirsiniz, örneğin 8=5+3, 26 =23+2 , … gibi. Ancak, bu iddianın ispatı için şimdiye kadar kullanılan ve bilinen bütün yöntemler yetersiz kalmıştır. İspat için yeni bir şeyler bulmak, yaratmak gerekir. Matematik yapmak böyle bir şeydir.