Katalog

matematık olımpıyatları Nurettin Ergun Geçen haftaki İrlanda sorusunun çözümleri Bırıncı Çozum x 2 +5x+3 polınomunun kdUsdyüan tam sa yılar derecelerı en az bır olan ıkı polmomun çaı pırtıı şeklındp yazılamayacagını goıebılmek ıçm sanırım olımpıyat hazırlık kamplannda bılgı ve becerı pgıtımınden geçmeye gerek yok tur Pekı ama l<n olmak uzeıe n ırıcı dereceden p(x) = x n +5x n '+3 polınomu ıçm nasü bır kanıtlama vermelı' Düerse nız, olmayarici ergı yontemını kuilanalım p(x) polmomunun, f(x) ve g(x) gıbı tam katsayılı ve derecelerı en az bır olan üa polıno mun çarpımı bıçımınde yazılabdmesı duı umunda neler olaca gını gozlerneye çalışalım Oncelıkle şunu gozleyelım f(x) ve g(x) polmomlarının her ıkısının de başat katsayılan (en yuksek derecelı terımlerının katsayıldrı) ya 1 ya da 1 olur çunku p po lmomunun başat katsayısı 1 dır Sonra 3 p(0) f(0) g(0) nedenıyle f(0) ve g(0) tam sayılarından bırısının mutlak degerı 1 ote kısmınkı ıse zorunlu olarak 3 olur (Arumsayın ya da kolayca gozlemleyın lutfen Tam katsayılı her hangı bır polınom tum kat sayılarda tam sayı degerı aür) Sozgelımı f(0) m mutlak degerının 1 ve f(x) xm+aıXrT1 '+aoXm 2 + +a m oldugunu varsayalım Dıkkat p polmomunun derecesı ıs tpr tek ıster çıft olsun p(l) ve p( 1) tamsayılarınm ıkısı bırden sıhıdan farklıdır O halde f polmomunun deıccesı m=l olamaz Çunku aksı durumda, yukanda, f(0) ın mutlak degerının 1 ol masma ılışkm gozlemı kullanarak f(x) xT 1 bulunur ve sonuç ta f(l) ve f(l) (ve dolayısıyla p(l) ve p( 1)) tam sayılarından en az bırısı sıfır olurdu1 Demek kı şu yalm ama onemlı gerçegı an lamış durumdayız ıpolınomununderecesım>2gerçekler On cekı yazüardan Cebrm temel teoremı nı anımsıyor musunuz9 f polmomunun bazıları gerçek olmayan karmaşık (kompleks) sayılar olabılen tastamam m tane koku vardır ve boylelıkle f(x) = (xcl) (xc2) (xcm) (*) bıçımınde bır çarpanlara aynlışı vardır unutulmasm ba/ı c, ler gerçel sayı olmayabüır O halde f(O)(l)mClc2 cm sayısının mutlak degerı (ya da dalıa yerınde deyımle normu) 1 olur Oysa p(q) = 0 nedenıyle, tum ı ındıslerı ıçm Q naklann tartışıldıgı ılk qoı u^melerde Hubble'ın yuzde 15'ıne ortak olan Avrupa Uzay Ajansı aynı oranda NGST'yp de ortak olmak ıstedıgını behrttı Kanada da yuzde 5 dolayın da projpyp katılma egılımı gosten yoı Her $ p planldiıdıgı gıbı gıdeıse >y NGST 2007 yılmda fırlatılacak Hubble'ın goıev suıesının 2010 yüına kadar uzatılması bu ıkı teleskopun 3 yıl bırlıkte çalışması anlamma gelıyor GoddardUzay UçuşMeıke 7i nden Dave Leckrone ıkı telesko purı bırden gonderdıgı goruntulcı yartlırrııyla pek çok bıhnmeycnın qun ıjjiyıııa çıkacagını umuyor Reyhan Oksay Kaynak: Dıscover, Şubat 1998. Gökyüzündeki uydular sorun oldu okyuzunde kumelenen ıletışım uydulan son gıınlerde uzaybılım uzmanlaıının baş bplası oldu Bu uydular gecelerı guneş ışı gını yeı yuzurıe yansıtırlarken bızlere adeta goz kırpaılar Meıkezı VVashıngtorı'da bulunan ırıdyum LLC adlı uluslararası bır konsorsıyum geçen Mayıs ayın dan beıı 780 ialometrelık bu yoıungeye uydular fırlatıyor Fırlatılması tasarlanan yetmış üa uydudan kırk altısı daha şımdıden gokyuzundekı yerlerıru almış dururuda Bu uydular kuresel bır taşınır telefon agı oluşturacaklar . r' . Ancak ışın olumsuz yonu şu ki her uydunun n 1 tç +5) . 3 G u/erındekı uç antpn yuzu dunyaya donuk ve yansı rrid gucu son derprp yukspk bır pııamıt oluşturur Bunlaıın amaçları ne oluı.sa olsurı yarattıkları etkı bır aynadan farksızdır Bu aynadan yansıyan ışık dolunay denlı parlak olmasa da gokyuzundekı otekı cısımlf le kıyasla çok daha parlaktır Soz konusu ışık bulutlarından ardmdaykpn bıle kolaylıkla seçılebün Yerdpn bakıldıgıhda bır ırıdyum uydusu yak laşık 20 sanıyelık parlak bır ışık meydana getırır Bu ışık yogunlugunun doruk noktasına ulaştı gında parlakügı Venus gezegenırun 25 katı kadardır ve yonıngesının buyuk bır bolumunde her uydu dunyanın bellı bıı yoıesırıe guneş ışıgmı yansıtır Kadyo uzaybılımcüerı taşınır telefon sınyallerının, da ha şımdıden, radyo tayfinda aşın bu yuklennıeye neden oldugundan yakıruyorlar Gorunuşe baküırsa, ırıdyum uydulan bu soru na çok daha cıddı bır boyut kazandıracak Uzmanlar bu durumun profesyo nel uzaybılımcıler ıçın pek bır soıun oluşturmadıgını, ancak bır amatorun bunu kolaylıkla yeru bır patlayan yıldı/ oldrak yorumlayabı Ipcegmı bıldırıyorlar Rıtd Ilrgan NPW Srıpntıst Ocak 1998 ve bunları taraf tarafa çarparak (C[+5)(c?+5) (c m +5) çarpımının mutlak degerı 3 m ve sonuçta f(5) tamsayısınm rnutlak degerı 3m>9 olur Oysa 3 = p(5) = f(5) g(5) nedenıyle f(5) ve g(5) tam sayüannm mutlak degerı 1 ve 3 olabılır1 Olma yana ergı yontemı ulaşılan bu son çelışkı nedenıyle kanıtlama yı bıtınr Ikıncı Çozum Bu farklı çozume geçmeden once (bırınoı çozumde de başat katsayılar soz konusu oldugunda kullandıgı mız) şu temel gerçegı anımsayalım b r x 1 ^b r . 1 x' 1 + + b 0 polmomlarının çarpımı olarak yazüan polmomun bır x k tenmının katsayısı bılmdıgı gıbı a kb0 + a k lbl + + a 0bk (**) toplamıdır Yıne bırıncı çozumdekı gıbı p(+l) ve p(+3) tamsayılarının sıurdan farklılıgı nedenıyle p(x) polınomunun tamkatsayılı, bırmcı dereceden ıkı polınomurı çarpımı olarak yazılamayacagı gerçegını gozleyerek başlayalım Eger p(x) polınomu yukanda ya/ılı ıkı polmomun çarpımı bıçımınde ya zılabılseydı neler olacagını gozleyelrrn Bır kez daha Ilk olarak yukanda soylenenler nedenıyle 2<m<nm+r ve 2<r=nm ve sonuçta 4<n gerçekleşecegı apaçıktır Ustelık 3=ao bonedenıy le, ornegın b 0 tam sayısınm mutlak değennın 1 ve ao tamsayısı nm asal çarpanlarırıddn bırısının 3 oldugunu anlanz Eger 3 sa yısı tum a, katsayüannın bır bolenı olsaydı, (**) oncesı anlatılanlar nedenıyle p(x) polınomunun butun katsayılannın da bır bolenı olurdu oysa degıldır Demek kı oyle bır l<k<m vardır kı 3 asal sayısı ak'nın bır bolenı degıldır fakdt buna karşm tum ag, aj, , a k .ı katsayılannın bır bolenıdır (Neden acaba?) Oysa k<m<n oldugu ıçm p'nın (**) da yazılı katsayısı açıktır kı sı&rdır ve sonuçta 3 asal sayısı tam sayısının bır bolenı olmalıdır oysa degıldır Evet yıne çelışkı elde ettık, bu ıkıncı kanıtlama da bıtmıştıı' 573/19