Katalog

3 boyutlu cisimlerin 3 boyutlu görüntüsü 3 boyutlu ortamda yaşadığımızı algılamak ve 3 boyutlu cisimleri görmemiz, cisimleri 3 boyutlu (hacmini) gördüğümüz anlamına gelmez. Mustafa Sancak dığı ıçın 2 boyutlu goremıyordur Benım cevabım B şeklıdır Yuzey goremeyen bıı canlmm 2 boyutlu şekülen 2 boyutlu gorebüdıgı kabul edüemez Dolayısıyla bızler de cisimlerin hacımleıını gore medıgımız ıçın 3 boyutlu şekülerı 3 boyutlu goruyoruz dıyemeyız tusu arasındakı gerçek 1 boyutluk farkı anldtabümek tır 3 bo yutlu cısımlen 3 boyutlu go rebılseydık, goıdugumuz den ne farklar gorecektık? 1 2 boyutlu tum şe kıllpr 3 boyut lu ortamdan tanımına uy gun goruldu gu gıbı (A B C ve D) bo yutlu tum cısımler de 4 boyutlu bıı oıtamdan tanımına uygun gorulmelıdır n BOYUTLU BİRİM ŞEKLİN n1, n Vt n^ 1 BOYUTLU ORTAM İÇİNDEKİ DURUMLAR1 n1 boyutlu ortam n boyutlu birim yfkltn n boyutlu oıtamclaki gönınU|lerinin olujturulabılecegı ıııııı. boyullu oıiamdır. n boyutlu ortan n boyutlu binm feklın olu;tıırulahilcceii mın boyutlu ortamdır. n+1 boyutlu ortaııı 3 boyutlu cisimleri kaç boyutlu gorduğumuzu hıç duşundunuz mu ? Bır topun resmını çekıp baktıgımızda bi* daiıe goruyoruz Resımdekı topu 2 boyutlu goruyoruz Gerçek hayatta da ayru şeyı goruyorsak, nasü topu 3 boyutlu gordugumuzu ıddıa edebüırız 9 Ya da şoyle dıyehm, televızyondakı haber spıkerını 2 boyutlu gordugumuze sanııım kımse ıtıraz etmez Kameıamanın oldugu noktada bız olsak, acaba spıkerı faıklı rru gorecektık? Cevabımzı duyar gıbıyım, "Gomnen şeyler aynı olsa da, gerçek hayatta bır derınlık algüıyoruz Resırn ve televızyonda bu derınlığı algüayamı yoruz" Sıze katılıyorum Pekı bır cısmın 2 bo yutlu goruntusuyle, 3 boyutlu goruntusu arasmdakı 1 boyutluk bır farkın, daha buyuk bır fark olnıası gerekmıyor mvf Her ıkı durumda da topa baktıgımızda daıre goruyorsak, 1 boyutluk bu faık goıduğumuzu nasü soyleyebılırız9 Belkı de, 3 boyutlu cisimlerin gor me şansımızın olması 3 boyutlu başka bır gonıntusu vardır Ancak o zaman topun bu goruntusu üe resmını kıyasladıgımızda, ortaya gerçek 1 boyutluk fark çıkabüır Ne dersınız olamaz mf Her cısmm uzay ıçıııde kaplamış olduğu 3 boyutlu bır hacmı vardır Hacmının sım rı ıse yuzey kenaı ve koşe noktalarrndan oluşur Küre gıbı bazı cisimlerin hacmının sınırı sadece yuzeylcrden oluşur Silindir gıbı bazı cisimlerin hacmının sıruıı u>e yu zey ve kenarlardan oluşuı Küp gıbı bazı cısımlenn hacmının sınırı ıse yuzey kenar ve koşe noktdldiından oluşur Bızler 3 boyutlu cısımlere baktıgımız da hacmını rm goruyoruz'? Yoksa gorduklenmız hacmının sınırındakı yuzeyler, kenar lar ve koşe noktalaıı mP Hacim görmek ne demek? 3 boyutlu cısımlen goıuyorsak onların hacmını de gormuş olmuyor muyuz 9 Bu sorulara en ıyı cevap, bır alt boyutlu uza ya mılerek veı ılebılu Şekıl 1 BOYUTLl) BİRİM ŞEKİI. { n boyutlu binm •ekhn n boyutlu gSrultbikccil min. Boyutlu ortamdır. I BOYUTLl) BİRİM ŞEKİL (DOĞRU PAKÇASI) *s " ^ Hayat'tan örnek Gunluk hayattan bır ornek vermek gerekırse Bır ressamla bıı heykeltıraşı koltuklara oturtalım Ressamın karşısuid da ha once gormedı<3ı bır resım heykeltıraşın karşısına daha once gormedıgı bır heykel koyalım Yerlerınden kalkmadan ressamdan resmı heykeltııaştan heykelı modellernesını ısteyehm Sonuç ne olur 9 Ressam 2 boyutlu gorebıldıgı ıçın resmı yerınden kalkmadan eksıksız tuvale aktarabılır Heykeltıraş ıse 3 boyutlu goıe medıgı ıçın heykelı modelleyemez Ornek ler çoğaltılabılır Ikı gozden dolayı 3 boyutlu gorduğumuzu savunan kışı kımlık kontrolu sııasındd gorevlı memurdan tek gozunu ka patmasını ıstemek zorundadır Çunku memur suıatının 3 boyutlu goruntusuyle 2 boyutlu goruntusunu karşüaştınyordu Yeryu zuııde boyle bır saçmahk yaşandıgını hıç sanmıyorum Ama gene de, 2 gozden dolayı 3 boyutlu gorduğumuzu savunanldi vaı Ne kadar ılgmç degü mP Aşagıdakı tablo, n boyutlu ortamla n boyutlu şeklın, n1 boyutlu gorulduğunun n boyutlu goruntunun mın n+1 boyutlu ortam dan mumkun oldugunun tum alt boyutları kullanarak ıspatıdır Bırım şekıller n boyutlu oıtamdan, n boyutlu gorulmez ama dığerlerı gorulebılır gıbı bır mantık kabul edüe mez Her karerun sag ust koşesındekı ra kam ortarnın kaç boyutlu olduğunu gosterır Altında ıse 4 ve 5 boyut kabulu benım tara fımdan yapılmış ısımlerı vardır Ikı gozumuzun olması 3 boyutlu gor rnemız ıçın yeterlı mıdır'' 2 gozun 4 boyutlu bır ortamdan 3 boyutlu cısımlere bakmamı zı sağlddığını sanırım kımse ıddıa etmez Ikı goz 3 boyutlu ortam ıçınde yaşadığımızı al gılamamızı sağlar Aşagıdakı şekılde 2 bo yutlu ortamdan ıkı gozle 2 boyutlu şekıllpre bakümışür 3 boyutlu gormekle 3 boyutlu ortam ıçınde yaşadığımızı algılamak arasındakı faık en ıyı şekılde 2 boyutlu gormekle 2 boyutlu bıı ortam ıçınde yaşamayı algüamak arasındakı farkı anlamakla anlaşüabüır Şekıl 3'te ıkı gozun 2 boyutlu ortamda 2 boyutlu (yuzey) gormeyı saglayamadığını ama A şeklının gorulen kenarı ıle D şeklının gorunen kenarı arasında nıesafe olmasın dan dolayı, bu sağ bır de sol gozle baküdığında A cısmının sağa sola kaydıgı fark edı lır Bundan dolayı 2 boyutlu canlı 2 boyutlu şekülerı 2 boyutlu goruyor dıyemeyız Ben BOYUTLLI BİRİM ŞEKH, (KARL) J BOYUTLU BİRİM ŞEKİL (KÜP) 3 boyutlu bırım şeklın oluşturulabıleceğı mın boyutlu ortamdır 3 boyutlu hırım jeklın, 3 boyutlu görıllebıleceğı mın boyutlu ortamdır x.y.z 4 boyuttu bırım şckltn, 4 hoyutlu ortamdakı görunüşlerının oluşturulabıleceğı mın boyutlu ortamdır 4 boyutlu bırım >eklın oluşturulabıleceğı mın buyutlu orlauHİır X y/ W,q 4 boyutlu bırım şekhn 4 boyutlu gorulebıleceğı mın boyutlu ortamdır BOYUTLl) BİRİM ŞEKİL (1ESSERACT) Ornek olarak kupu verırsek, 8 koşe noktası 12 kenar 6 yuzey ve 1 hdcım (ıçının her noktası) gorulmelıdır 2 3 bır boyuttan bakü dığında 2 boyutlu ortam ıçınStG dekı 2 boyutlu hıçbır şebl 2 boyutlu hıçbır şeklı arkasına (C, D) ya da ıçıne (B) alarak ta Şekll 3 mamını (B C) ya da bır kısmını (D) gızlemesı mumkun değüdır Aynı şekılde 4 boyutlu bır ortamdan, 3 boyutlu ortama baküdıgında 3 boyutlu hıçbır cısım 3 boyutlu hıçbır cısmı drkdsına ya da ıçıne alarak tarndmını ya da bır kısmını gızlemesı mumkun olmamdlıdır Ornek olardk ınsanlann turn ıç oıganlarının 3 boyutlu gorulmesı gerekır dıyebüırız Sol Cıflzle gorulen Dl D2 SagaozleKöıülenDI02 Hıçbu matematıkçı ya da fızıkçı, 2 boyutlu ortam ıçınde yaşadıgını farz edecegı rrıız 2 boyutlu bır canlının 2 boyutlu şekıllere baktıgında yuzey gorebüecegını savuna maz 2 boyutlu canlı olsaydı, yuzey gorme şansı olmayacamtı Yuzey goremıyorsa ne gorecektı 9 2 boyutlu şekülerm 2 boyutlu uzay ıçınde kaplamış oldugu alanın sırurları olan, kanar ve koşe noktalannı gorecektı Lutfen şekıl 1 'e bakıp, daırenın 2 boyutlu go runtusunuü hangısı olduğuna karar verın Cevabınız A ıse, 2 boyutlu canlı 2 boyutlu şeklı yuzey gorme şansı olmadıgı halde, 2 boyutlu gorebılıyordur Cevdbımz B ıse, 2 boyutlu cdnlı 2 boyutlu şeklı yuzey goreme buna, ortanun 2 boyutlu olduğunu algılamak, dıyoıum Daha sağlıklı başka bıı ıfadesı de olabüır Şekü 3'te çok sayıda şekıl kıülanümd sının asıl amacı, cisimlerin 3 boyutlu goruntusu üe bızım gordugumuz 2 boyutlu gorun Şekil 4'te 3 boyutlu şekıllerı 3 boyutlu gormedıgımızı ıspatlamak ıçın 3 boyutlu uzay ıçınde oluşturdugum 4 boyutlu bırım şeklın 4 boyutlu ortamdan gorunuşlen var du TUBITAK'ın Büım Teknık dergısının 2002 Mart sayısında yayunlamıştır 2 boyutlu canlı uzayının ıçınde kupun gorunuşleı ıru oluşturmayı başarmış olsa bıle onları gorduğu haln poyutlu binm ygnıın n 22 OORÜL de hıçbır zaman (2 boyutlu goremedığı NOKIA ıçın) kupun goruşlerı SAY1SI olarak goremeyecektır Aynı şekılde bızde 4 boyutlu bırım şeklın goıuşlerını elımızde tuttugumuz halde (3 boyutlu goıemedığıııuz ıçın) 4 boyutlu bı rım şeklın goruşlerı olarak goremeyece gız Bazı koşe noktaları kenar lar ve yuzey ler şekıllerını arkasında bazı koşe noktala rı kenarldr, yuzeyleı ve tum hacımlerde şeklın ıçınde kalacaktır Şekıl 4'ten de dnlaşüacagı uzeıe, kup mın 4 boyutlu ortamdan tanımına uygun gorulebüır Bız kupu goruruz ama kup şeklın de bır hacım goremeyız Aynen, 2 boyutlu bır canlının kareyı gorup de, kare şeklınde bır yuzey gorme şansı olmadıgı gıbı Sonuç okrak, 3 boyutlu oı tamda yaşa dıgımızı algüamak ve 3 boyutlu cısımlen gormemız cisimleri 3 boyutlu (hacmını) gordugumuz anlamına gelmez n boyutlu şeklın n boyutlu goruntusu mın n+1 boyut lu ortamdan mumkundur Dolayısıyla 3 boyutlu bır cısmın, 3 boyutlu goruntusu mın 4 boyutlu ortamdan mumkundur oyullu onıroaın gonınu|ien 33 D Şekll 4 805/6