Katalog

MATEMATİK Pasta adil şekiMe nasri paylaşılmalı? Matematikçiler herkesi memnun edecek paylaşma yöntemi geîiştirdiler... D aha çocuk yuvasında başlıyor paylaşmayı öğrenmek ve paylaşma öğretisi bütün hayat boyunca sürüyor: Evde işler bölüşülüyor, işletmelerde gelir paylaşılıyor, politikada iktidar ve nüfuz... Ancak paylaşmalarda sorunlar çıkıyor tabii sık sık. Bu sorunlar, paylaşmanın adil bir şekilde yerine getirilmemesinden kaynaklanır genellikle. Bu nedenle paylaşmada ana nokta, herkesin hakkını ve payını tam olarak aldığı duygusunu yaşaması. Bu da oldukça zor aslında. Ama bllimciler matematiksel olarak adil paylaşmanın nasıl olabileceğini öteden beri araştırır dururlar. Ve nihayet bu konuda bir çözüm bulduklarını müjdeliyorlar. Adil paylaşma sisteminin nasıl işlemesi gerektiği konusu üzerinde, siyaset bilimci Steven Brams ile matematikçi Alan Taylor'ın bir pastanın iki, üç ve daha çok kişi arasında nasıl bölünmesi konusunda yaptıkları yeni çalışmanın sonuçlarını aşağıda bulacaksınız. da da kimse şikâyetçi olamaz: Meryem de iki dilimin üçüncü dilimden daha küçük olduğuna inansaydı, en azından bir dilimi daha küçük olduğu gerekçesiyle seçmek istemeyecekti. Bu küçük olduğu sanılan dilimi Ali alacak, geri kalanını da Ayşe ile Meryem aralarında bilinen yöntemle paylaşacaklardı: Biri kesecek, diğeri seçecekti... Üçten fazla kişi olursa? Steinhaus'un geliştirdiği bu güzel mantığı, diğer matematikçiler de derhal üçten fazla kişi arasında genelleştirme yoluna gittiler. büyüğünü alırken Ayşe daha küçüğüyle yetinecektir. Üç yıl önce The Science dergisinde bu sorunla ılgili olarak Steven Brahms'ın bir makalesi yayımlandı. New York Ünıversitesi'nden siyaset bilimci Brahms siyaset ve ekonomi alanında adil paylaşım için çok sayıda örnek biliyordu. Uzun kafa yormalardan sonra hiç kimsenin şikâyetçi olmayacağı bir çözüm buldu: Eskisı gıbi Ali yine pastayı kendince üç eşit parçaya kesecekti. Ayşe daha büyük gördüğü dilimden fazlasını kesecek ve kesilen küçük parça da bir kenara konacaktı. Ayşe, iki veya her üç dilimıni eşit büyüklükte görürse, hiç bir şey yapmayacaktı. Bundan sonra Meryem kendi dilimini seçıp alacaktı. Geri kalan iki dilimden birini seçme hakkına Ayşe sahip olacaktı. Eğer biraz önce bir dilimi küçültmüş ve Meryem de o dili başlayarak bölüşebilirlerdi. Tabi burada teorik olarak hep sonsuza kadar bölüşülecek minik bir pasta parçası kalabilirdi. Ancak birkaç bölüşmeden sonra geride kimsenin üzerinde kavga etmeyeceği kadar toz halinde bir parça kalacaktı. Peki dört kişi pastayı nasıl bölüşmeli? Siyaset bilimcimiz, pastayı dört kışı arasında bölüşmeye karar verince ışı zorlaştı ve matematikçi arkadaşı Alan Taylor'a başvurdu. Taylor da kısa sürede bir çözüm buldu, ancak bu çözümde de işler ters giderse her turda küçük bir parça pasta artıyordu. Dahice bir düşünce ile Taylor sonuca gitti: Pastayı yiyecek dört kişi olmasına rağmen, Taylor, Ali'ye pastayı 5 eşit dilime böldürür. Eğer pastaya talip 5 kişi yarsa, pastayı 9 eşit dilime; 6 kişi varsa 17 dilime böler. Brahms bu çözümden memnundu. Çünkü politikada zaten olaylar asla yüzde yüz adillikte gerçekleşemezdi. Geride kalan kırıntılara da kimse dönüp bakmazdı. Ama olay Matematikçi Taylor için öyle değildi. Matematik olarak bu yöntem eksikti; geri kalan parçanın sonsuza kadar bölünür olması hoşuna gitmemişti. Meslektaşları VVilliam Zwicker ve Fred Galvin ile birlikte, kesın bir çözüm buluncaya kadar birkaç ay ofisıne kapandı. Tabii, sonunda hiç kimsenin asla kıskanmayacağı, haksızlığa uğradığı düşüncesine kapılmayacağı doğru yöntemi geîiştirdiler sonunda. Ârtık pastayı istenildiği kadar çok sayıda insan yiyebilirdi. Eğer pastacılar tam ve adil bir paylaşmaya önem veriyorlarsa, bu üç bilimcinin karmaşık paylaşma tarifnamesinı okuyup anlamak zorundalar. Ancak matematikçi olmayanların bu tarifnamenin altından kalkmaları da oldukça zor. Biz meraklılara kaynak vermekle yetinelim: New Scientist, 17 Haziran 1995, no: 1982 sayfa 42 ve "An envyfree cake division protocol" by Steven J. Brahms and Alan Taylor, The American Matematıcal Monthly, cîlt 102, s.9 İki kişinin paylaşması... İki kişi örneğin bir pasta paylaşmak istediklerinde, izlenen yöntem eskiden beri şudur: Birisi keser, öbürü dilimi seçer. Böylece hiçbiri sonuçtan şikâyet etmez. Peki, iki kişiden daha çok insan bir pastayı nasıl paylaşmalıdır? Polonyalı matematikçi Hugo Steinhaus 50 yıl önce bu soruya doğru bir yanıt bulmak için çok uğraştı. Üç kişi, örneğin Ali, Ayşe ve Meryem, birbirini aldatmadan, kimsenin hakkı öbürüne geçmeden bir pastayı adil bir şekilde nasıl paylaşmalıydılar? Steinhaus şöyle bir çözüm buldu: llk önce Ali pastayı kendi göz kararına göre eşit üç parçaya böler. Sonra sıra Ayşe'ye gelir. İki olanağı vardır: Ayşe ya en azından iki dilimi daha büyük bulacak ya da dilimleri eşit bulacaktır.. Ayşe, ikinci durum söz konusuysa, ilk seçim şansını Meryem'e bırakır. önce Meryem sonra kendisi seçecektir. Her ikisi de durumdan memnun olmalıdırlar; Meryem, serbest seçim yapacağı için, Ayşe de diğer dilimi garantilediği için. Ali de memnundur, çünkü keserken üç dilimi de eşit kestiğine inanmaktadır. Diğer seçenekte, yani Ayşe'nin, ilk seçim hakkını Meryem'e devretmediği ve ilk seçimi kendisinin yaptığı durumda, Ayşe, diğer dilimlerden daha büyük bir dilimi gözüne kestirdi ve geride kalan iki dilimi küçük görüyor demektir. Oyun bitmedi sürüyor: Şimdi Meryem de aynı seçimle karşı karşıyadır. Eğer iki dilim eşit büyüklükteyse ilk seçim hakkını Ayşe'ye tanımalı, sonra kendisi bir dilim seçmelidir. Bu durum Ancak yine de Steinhaus'un çözümünde her şey açık değildi. Zira Ali, Ayşe ve Meryem, her üçü de gerçi pastanın en azından üçte birini aldıklarına inanıyorlar. Ancak, kıskançlığa kapılar henüz açıktır: Ali örneğin kötü bir göz kararı ile pastadan üçte birlik bir dilim kesip geri kalanı eşit olmayan iki dilime ayırırsa, Ayşe Meryem'e imrenebilir.. Zira iki dilimi yeterince büyük kabul etmekte (ilk kesilenle diğer iki dilimden büyüğünü) ve Meryem ilk seçen olmaktadır. Nitekim bu durumda Meryem me yüz vermemişse, küçülttüğü dilimi kendisi, Ali de geride kalan dilimi alacaktı. Gerçi burada bir minik bir parça geride kalıyordu: Ayşe'nin fazla görüp biçakla ayırdığı parça. Ancak yine de herkes memnun olmalıydı. Ali eşit kestiği dilimlerden birini almıştı. Meryem özgür seçimini kullanıyordu. Ayşe de büyük gördüğü dilimden fazlasını kesip bir kenara koymuştu. Gönüller rahattı. Şimdi gerideki minik parçayı da, pastayı ilk bölüştükleri yöıiteme göre yeniden 4395