Katalog

B İ Lİ M T A R İ H İ Logaritma cetvelleri, birsayının kendisineçok yakın bir sayıyla devamlı olarak çarpılmasıyla oluşturujabileceği gibi, bir sayının devamlı olarak karekökünü alarak da inşa edilebilmektedir. Doç. Dr. Mahmut Sayın Çukurova Ünlversitesi, Zlraat Fakultesl, Toprak Bölümü Logaritma ve öyküsü 6932 23027 23028 2,0000 3632 9,9999 9779 10,0009 9780 Böyle bir cetvel 1,0001 tabanına göre antılogarıtma cetvelınden başka bir şey değıldır inteıpolasyonla geometrık dızıde kı 2 ıçın 23027 0022, 10 ıçın 6931,8183 değerlerı bulunur Benzer şekılde tam sayılara karşılık gelen sayılar hesaplanarak bir logaritma cetvelı oluşturulabılır Buradan 10 tabanlı logarıtmaya geçmek ıçın 2= 1.0001 69 " 8 1 " ve 10= 1.OOO12'027150" ıhşkılerınden 2 1 0 0 ' 0 1 0 2 elde edılır Böylece 2'nın 10 tabanına göre logarıtmd sı bulunmuş olur Benzer bölme ışlemlerıyle bir antılogarıtma cetvelınden 10 tabanlı logaritma cetvelı ınşa edılebılır Yukarıda verılen cetvelde arıtmetık dızıdekı sayılar (A) ıle geometrik dızıdekı sayılar (G) arasında G = (1 +1/104)" ılışkısı vardır Çarpanın 1'e daha da yaklaştırılmasıyla elde edılecek cetvelın daha duyarlı olacağı anlaşılır Ancak sorun duyarlığın nereye kadar gıdeceğıdır Başka bir deyışle sorun örneğın anlık faız hesabını veren ılışkının ne olacağı şekhndedır Matematıksel ıfadeyle (1 = i/n)" ıfadesınde n'nın sonsuza gıtmesı halınde (1 + 1/n)" ıfadesının limıtı sorulmaktadır Bu lımıtın ırrasyonel (oransız, kesıçler halınde tam olarak ıfade edılemeyen) bir sayı (2,71828 ) olduğu bulunacak ve bu sa yıya unlu Isvıçrelı matematıkçı Leonhard Eular • sayısı adını verecektır 1,0001 çarpanıyla kullanılan tabanın 10=1 0001 ^•OOl° 23"270022 ıfadesınden 2,71814 olduğu görulur kı bu sayının 5 önemlı rakamı e sayısı ıle uyum ıçındedır Yukarıdakı değerlerden anlaşılacağı uzere en doğru logaritma e tabanına göre olandır Arıtmetık dızı ıle geometrık dızı arasındakı ılışkıyı açıklanandan bıraz farklı bir şekılde Isvıçrelı matematıkçı Joost Burgi kullanmıştır Bürgl 1620'de Prag dayayımladığı Arlthmetlsche und geometrlsche ProgressTabulen (Arıtmetık ve geometrik diziler cetvell) adlı eserinde çarpan olarak 1,0001 'ı kullanmış, arıtmetık dızıdekı sayıları bırer bırer değıl de onar onar artırmıştır Buna karşılık geometrık dızıdekı sayıları 10* ıle çarpmıştır Byrgi yukarıda açıklanan çarpma yerıne o zaman ıçın daha kolay olan toplamayı kullanmıştır Şöyle kı Bürgl bir oncekı sayıyı 104 e bölüyor ve bulduğu sayıyı bolduğu sayıya ılave ederek bir sonrakı sayıyı buluyordu Bu bir bakıma bıleşık faız hesabı yapan bırının faızı ana paraya ılave ederek toplam parayı bulmasına benzıyordu Bu arada Burgl, cetvelını 230270'e kadar ılerletıyor 10 a karşılık gelen sayıyı (230270,022) ınterpolasyonla buluyordu nın bulucusu sayılan Iskoç baronu John Napier 1614'te yayımladığı MlrUlcl logarlthmorum canonls descriptlo (Logaritmanın olağanustu kuralının tanımlanması) adlı eserinde böyle, bir yol ızlemıştır Napier çarpan olarak (110 7) yı seçmış bulduğu her sayıyı 10? ıle çarpmıştır Böylece N sayıyı L de logarıtmasını temsıl etmek uzere N = 107(11/107)Loluşmuştur Buna gore Napter'ın cetvelınde 107nın lcgarıtması 0, 107(11/107) = 9999999'un logarıtması ıse 1 çıkmaktadır Sonuç olarak sayılar duşerken logarıtmaları artan bir cetvel ortaya çıkmaktadır Burada sayılar ve logarıtmaları 10ye bölunduğunde elde edılen ıfadenın 1/e'ye çok yakın olduğu gorulur Napier'ın bugun kullanılan taban sıstemını bılmemesıne karşın tabıı logaritmanın kendı adıyla anılmasının nedenı ışte bu yakınlıktır Napier aslında cetvelını trıgonometrık hesaplarda kolaylık sağlasın dıye hazırlamıştı Eserınde yukarıda N olarak tanımlanan sayıya sınus dıyordu Cetvelınde daırenın yarıçapı olan sın 90= 1 yerıne 107 değerını koyuyor, derece ve dakıkalarına ayrılan 90° lık bir yayın daha önce bılinensınuslerıne karşılık gelen logarıtmaları buluyordu Napier böylelıkle sınüsleıie yapılan çarpma ve bölme ışlemı yerıne onlann togarıtmaları ıle çok daha kolay olan toplama ve çıkarma ışlemlerinın yapılmasını mumkün kılıyordu Cetveller çok uygun zamanda yayımlanmıştı Bu sıralarda Kepler yorunge hesapları yapmaktaydı Gallle ıse durbununu göklere çevırmıştı Cetveller 'hesapları hızlandırarak astronomların ömrunu ıkı mıslıne çıkarmıştı" Napier 1617 yılında ölur En aşağı 20 yıl emek verdığı Descrlptio'sunda logaritma cetvellerının kullanılma yollarını vermış ancak cetvellerın ınşa yollarını açıklamamıştı Bu açıklamalar 1619 yılında oğlu tarafından yayımlanan Mlriflci logarithmorum canonls constructio adlı eserınde verılecektır Logaritma sözcuğünu Napier, oranların sayısı anlamına gelen logos arlthmos (Yun ji'tan turetmıştır Konulan adın yapılan ışlemle ılışkısı şöyle açıklanabılır Dıyelım kı herhangı bir sayının örneğın 10'un 1 'e oranı pek çok sayıda eşıt oranların bıleşımıyle oluşsun Bu kuçuk oranların sayısı 1 mılyon olsun Bu takdırde 2'nın 1 'e oranı bu kuçuk oranın 301 030 kez kendısıyle çarpımına eşıt olacaktır Işlemı daha somutlaştırmak ıçın bu kuçuk orana a dıyelım Bu takdırde 2'nın 1'e oranı a *>r <noun 1 . e o r a n m a e ş , t olacaktır Başka bir deyışle a, 10'un mılyonuncu kökuyse 2 aşağı yukarı a 1 0 1 0 3 O a eşıt olacaktır Dığer sayılar (3,4, ) ıçın benzer durum söz konusudur Burada logaritma ıle us arasındakı ılışkı açık bir şekılde görulmektedır Bu basıt ılışki uzun yıllar matematlkçılerın gözunden kaçacak ancak 17 yuzyılda Euler logaritmanın kuvvet alma ışlemının tersı olduğuna dıkkat çekecektır Aynı kışı ılk defa taban sözcuğünu kullanacaktır dan bahseder Her ıkısı de yenı hazırlanacak cetvellerde tabanın 10 alınmasının uygun olacağındakarar kılarlar Briggs hemen çalışmaya koyulur 1616 yılında özel olarak bastırdığı Logarithmorum chlllas prlma (ilk bının logarıtması) adlı eserınde ılk kez 10 tabanını kullanarak 1'den 1000'e kadar olan sayıların 14 ondalıkta logarıtmalarını verır 16 sayfalık bu "minik" çalışma Briggs'ın daha sonra ortaya koyacağı buyOk esere bir gırızgâh nıtelığındedır Briggs 1624'te sayıların 1 'den 20 000'e ve 90 000'den 100 000'e kadar logarıtmalarını 14 ondalıkta verdığı Arithmetica logarithma adlı eserını yayımlar Bu eserde Briggs, Bürgl ve Napler'den farklı bir cetvel ınşa yolu tanımlamıştır kı bu da devamlı olarak karekök alma yoludur Stlfel'ın cetvelıne dıkkat edılırse arıtmetık ortalamaların geometrik ortalamalara karşılık geldığı gorulur Ta ban 10 olarak alındığı taktırde O ıle 1 'ın ortalaması olan 0,5'e karşılık (1x10)'^ « 3,162 değerı bulunur Aralıkları bölme ışlemını daha da ılerı goturerek ve hesaplama alanını genışleterek aşa"ğıdakı cetvel elde edılır M atematık tarıhçısı Florlan Cajori modern hesabın buyuk gucunu uç buluşa bağlar Bırlncısı Batı âlemınde Arap notasyonu olarak bılınen sayılar sıstemı, ıkıncısı ondalık kesır, uçuncusu ıse loça rıtmadır Bunlardan logaritma çok sık kullanılmasına karşın mevcut cetvellerın nasıl oluşturulduğu hakkında bılgı azdır Işte bu yazı logaritmanın tarıhsel gelışıml ıle bırlıkte logaritma cetvellerının nasıl oluşturulduğunu açıklamak uzere hazırlanmıştır Logaritmanın ılkesı çok eskı olup mılattan önce 2000 yılına Babıllılere kadar uzanmaktadır Babıllıler, tam sayıların pozıtıf ıntegral uslerını veren cetvellerde ın terpolasyonla bıleşık faız hesabı yapmak taydılar Çok daha sonraları Arşimet (M O 287212) 10" ın uslerını o zamanlşr bılınen evrenı doldurmak ıçın gereklı kum sayılarının ust sınırını hesaplamak uzere kullanmıştı Ortaçağın sonlarına doğru ve yenıçağın ılk yıllarından berı, bırı geometrık olarak artarken dığerı arıtmetık olarak artan ıkı kantıtenın daha sık kullanıldığı gö rulmektedır Alman matematıkçı Michael Stlfel, 1544 te yayımlanan Arithmetica integra adlı eserınde 2 sayısının pozıtıf ve negatıf uslerını bir cetvel hallnde vermekteydı 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 32 64 Stıfel eserınde bugun bıle geçerlılığını koruyan logaritmanın dort yasasını daha o zamanlar ortaya koymaktaydı Bırıncı sıradakı toplama ıkıncı sıradakı çarpmaya, bırtncı sıradakı çıkarma ıkıncı sıradakı bölmeye, bırıncı sıradakı çarpma ıkıncı sırada kuvvet almaya, bırıncı sıradakı bölme Ikıncı sırada kök almaya karşılık gelmektedır Stıfel'ın cetvelı yenıden duzenlendığınde cetvel ıle bıleşık faız arasındakı ılışkı açıkça gorulur 0 1 2 3 4 (1+1)° (1 + 1)' (1 + 1)2 (1 + 1)a (1 + 1)4 Alttakı geometrık dızı söz gelımı 1 lıranın yıllık faızmın %1OO olması halınde yıllara gore toplam para mıktarını vermektedır Ancak bu faız cetvelı çok kabadır örneğın toplam paranın 10 lıra olduğu anı bulmak zordur Bunun ıçın 2" = 10 bağıntısında x'ı bulmak ıçın denemeyanılma yolu uygulanabılır 2 ' = 8 ve 2* = 16 olduğuna göre x, 3'e yakın bir sayıdır 3,2'yı deneyelım 2 3 2 = 2 1 6 / ! = 10 olup her ıkı taraf 5 ıle çarpıldığında 2l6=105 ve 65 536 = 100 000 bulunur Aranan sayı 3,2'den buyuktur Böyle bir yol uzun ve zahmetlıdır 2'yı taban almak yerıne Ve çok yakın bir sayıyı kullanmak geometrık dızıdekı tam sayılar arasındakı aralıkları daraltacaktır Çarpan olarak 1,0001 sayısı alındığında aşağıdakı cetvel elde edılır Aritmetik dizi (Logaritmalar) Geometrik dizi (Sayılar) Briggs ve 10 tabanlı logaritma Napier'ın çalışması Ingıltere'de ıkı matematıkçının hemen dıkkatını çeker Bunlardan Edward Vtfrlght cetvelleri n denlzcılıkte yön tayınınde yararlı olacağını anlayarak eserı Latınceden Ingılızceye çevırır Dığerı Londra'dakı^ Gresham Kolejı'nde geometrı profesöru olan Henry Brlggs'tır Briggs Napler'l Iskoçya'da ziyaret ederek ondalık tabanın yararların 1 2 3 1.0001 0000 1.0002 0001 1,0002 0003 1,9998 3634 Napier ve tabii logaritma Arıtmetik dızı ıle geometrık dlzi arasındakı ılışkı ters yönde de olabılmekte bir dızı artarken dığerı azalabılmektedır önemlı olan tabanın sabıt kalmasıdır Logaritma 6931 0,000 1,000 0,125 1,333 0,250 1,778 0,375 2 371 0,500 3,162 0,625 4,217 0,750 5,623 0,875 7,499 1,000 10,000 Tam sayıları bulmak ıçın ızlenen yol, ıstenen sayının altında ve ustundekı sayıların geometrık ortalamasını bulmaktır Bu şekılde 2'nın logarıtmasını bulmak ıçın 23 kez karekök almak gerekır Bu durumda 6 ondalıkta 2,000001'e karşılık 0,301029 bulunur Logarıtmaların kurallarını kullanarak 2'nın logarıtmasından 4,8 ve 5'ın logarıtması bulunur 6,9'un logarıtması 3'un logarıtmasından elde edılır Buna göre 3 ve 7'nın logarıtmasının ayrı ayrı hesaplanması gerekmektedır Tabanın 10'a çevrılmesıyle logaritma anıden buyuk bir populerlık kazanır 1628de Hollandalı Adrian Vlacq, 1'den 100 000'e kadar sayıların 10 ondalıkta logarıtmalarını vererek Briggs'ın açığını kapatacaktır 17 ve 18 yuzyıl boyunca yapılan çalışmalar daha çok Brlggs'ın cetvelını gelıştırmek ve onu trıgonometrıye uygulamak yolundadır Glaisher, 1801'e kadar yayımlanmış cetvellerden önemlı olan 17'sının adını vermektedır 1875 yılına kadar dığer tıp logarıtmalarla bırlıkte yayımlanan toplam cetvel sayısı 553'e balığ olacaktır Napier'ın logarıtmasına karşılık Briggs karakterıstık sözcuğünu matematık termınolojısine kazandıracaktır Mantıs (mantıssa, ılave, Lat) ıçın John VVallis (1693)'ı beklemek gerekecektır Cetvelleri oluştururken her ne kadar Bürgi basıt toplama ışlemlerını kullanmışsa da Napier ve Briggs ışlemlerı kolaylaştıran bazı yöntemlere başvurmuşlardır Napier, Constructlo'sunun ekınde, hazırlanmasında Briggs'ın de katkısı olduğu anlaşılan hesap yollarından bahsetmektedır Briggs, Arlthmetlca'sında 10'un takrıben 30 ondalıkta 54 kez karekökünü almış ve elde ettığı sayıyla orantı kurmak suretıyle yenı sayılar turetmıştır.