Katalog

MANTIK VE BİLGİSAYAR Boole Cebri Doç. Dr. Şafak Ural İst. Üniversitesl, Edebiyat Fakültesi, Felsafe Bölümü ^ eorge Boole 1815 yılında Ingıltere'^ ^ de doğmuş olan unlu bır matema^ B t l k ç ı ve mantıkçıdır Buyuk ölçude m* kendı kendını yetıştırmıştır Analıtık dönu^i mlerle ılgılı olan ılk yazısını 23 yaşında 'ken yayımlamıştır 29 yaşındayken "Analızc e Genel Metot' hakkında yazdığı bır yazı ıf "RoyalSocıety" ödülunu kazanmıştır W Hamılton ve A de Morgan arasında nıceıeyıcıler konusundakı tartışma dolayısıyliı, mantığı cebırsel yöntemle ele alan meşhur "Mantığın Matematık Analizı" ısımlı kıtapçığını 1847 yılında yayımlamıştır Bu konudakı göruşlerını, 1854 yılında yayımladığı "Duşuncenın Kanurları Hakkında Bir Araştırma" ısımlı kıtabında olasılık teorısını de ıçıne alacak şekılde daha da gelıştırmıştır Boole, 50 cl'arında eser bırakarak 1864 yılında ölmuştır Boole'un göruşlerı daha sonraları Schrf dor, Venn, Peırce, Jevons gıbı natematık(,ı .nantıkçılar tarafından gelıştırılmiştir ' "Boolecf J H " denılınce kumeler cebrı ve önermeler ebn (veya önerrneler hesabı) duşünülür <umeler cebrınde Boole, cebırde kullanılf n sembollere yer vermış, fakal bu semooılerı farklı şekılde tanımlamıştır Mesela cibırde x x= x 2 olmasına karşılık, kumele' cebrınde x x « x şeklınde bır eşıtlık söz kon jsudur Çunku kumeler cebrınde kullanılan x, y, z gıbı semboller nesnelerın oluşturduğu bır kumeye ışaret ederler Dığer bır deyışle, kumeler cebrınde kullanılan semboller, cebırde kullanılan sembollerden farklı şekılde tanımlanıriar Aynı şekılde, kumeler arasında ışlem yapmaya yarayan x, + , gıbı sembollerın de yıne cebırden farklı tanımları vardır 2 Mesela, x ıle mantık okuyan öğrencılerın, y ıle matematık okuyan öğrencılerın meydana getırdığı kumeye ışaret edelım Bu durumda "x + y" ıfadesı, mantık okuyan ve matematık okuyan öğrencılerın beraberce oluşturduğu kumeyı ıfade edecektır "x y ' ıfadesı ıso (sadece mantık okuyan veya sadece matematık okuyan oğrencılerın dışında) hem matematık hem de mantık okuyan oğrencılerın meydana getlrdığı ortak kumeye ışarat edecektır 1" sayısı, tasarlanabılen butun nesnelerın oluşturduğu konuşma evrenını (evrensel kumeyı), " O " ıse boş kumeyı ıfade etmektedir Boole, bir x kumesınin tamamlayıcısı olan kumeyı (x1) şeklınde göstermıştır rebır tekabüliyetın olması ve dolayısıyla yukarıdakı tablodan yararlanarak, Boole cebrının, elektrık devrelerı ve bılgısayarların ınşasında kullanılabılmesıdır Bır elektrık devresı serı ve paralel olmak uzere ıkı şekılde teşkıl edılebılır Serı bağlanmış bır elektrık devresı şema olarak A C Boole'un yapmış olduğu çalışmalar, daha sonraları bır kısmı yukarıda belırtılen matematıkçımantıkçıların katkılarıyla gelıştmlmıştır Nıtekım gunumuzde, Boolecebrı denılınce, aşağıda temel özellıklerı kısaca belırtllen sıstem anlaşılır A herhangı bır kume ıse, bu kumenın tamamlayıcısı ( " X 1 " yerıne) A' (Adeğıl) şeklınde gösterllır Bu Ikı kume beraberce konuşma evrenını meydana getırır Dığer bır ıfadeyle, A + A' = 1 olur Bu ıkı kumenın, yanl A olan nesnelerle A olmayan nesnelerin meydana getırdığı kume arasında hıçbır ortak eleman olmayacaktır Yanı, A A' = O olacaktır Eğer A ve B gıbı ıkı kume verılırse, aralarındakı ıl.şkıyi Venn şemasıyla şu şekılde gösterebılınz Bu ıkı kumenın şemada görulen elemanları ve aralarındakı bağıntılar ıse şunlardır A kumesının elemanları 2,3 B kumesının elemanları 3,4 A olmayan nesneler 1,4 B olmayan nesneler 1,2 Konuşma evrenının elemanlarr 1,2,3,4 A ve B kümesınln bıleşımı, yanı A U B (veya A + B) 2,3,4 A ve B kumesının kesışımı, yanı A n B (veya A B) 3 A kumesının B kumesınden farkı, yanı A / B 2 B kümesinin A kumesınden farkı, yanı B/A 4 Bu bağıntıları daha da çoğaltmak mum kündur Kumeler arasındakı ışlemler ıse aşağıda (yıne bır kısmına) ışaret edılen aksıyomatık kurallara göre yapılır A B BA A + B B + A (yerdeğıştırıcılık Komutatıflık kuralı) A (BC)« (A B)C A + (B + C)= (A + B) + C (Ortaklaştırıcıhk Asosyatiflik kuralı) A (B + C)= (AB)+ (AC) (Çarpımın toplama uzerıne dağıtıcılığı Dıstırıbutıflık kuralı) A + (B C) (A + B) (A + C) (Toplamanın carpım uzerıne dağıtıcılığı kuralı) AA' = O A + A' = 1 (TamamlayıcılıkKomplemantarıtekuralı) (A')' = A (Çıfl değılleme kuralı) (AB)' = A' + B' (A + B)' = A' B' (De Morgan kuralı) içınde O ve 1 olan ıfadelerde şu ışlemlor yapılabılır OA= O 1+A= 1 1A= A O + A= A O'«1 1' 0 Boole cebrı denılınce, yukarıda ışaret edıldığı gibı, bır de önermeler cebrı duşunulur Boole'un bu konudakı çalışmaları, gunumuzde modern mantık (sembolık mantık veya matematıksel mantık) adı altında bılınen çalışmalarla ılgı ıçındedır Önermeler cebrınde artık nesnelerın oluşturduğu sınıf değıl önermeler ve önermeler arasında yapılan ışlemler dıkkate alınır Bır önerme, ozne, yuklem ve bır bağlaçtan meydana gelen, bır yargıyı dıle getıren ve doğru ya da yanlış değerı alabılen bır cumledır Mesela, "kalem yeşıldır", "hava açıktır", "ben çalışıyorum" gıbı cumleler hep bırer önermedır Boole, doğru bır önermeyı x,y,z gıbı sembollerle, x gıbı bır önermenın yanlış olması halını ıse 1x şeklınde göstermıştır Bu durumda x,y,z gıbı önermelerın doğru olması xyz şeklınde, x ve y'nın doğru, z nın yanlış olması durumu ıse xy (1 z) şeklınde gösterı lecektır Dığer bır örnekle, "x bır mantıkçıdır ve y bır matematıkçı değıldır" şeklınr*jkı bır ıfade" x(1y)" olarak sembolleştırılecektır Boole'un böyle bir sembolleştırme yapmadakı amacı, duşunce surecını, yanı mantık ışlemlerını cebırsel bır yöntemle ela alabılmektır Kumeler cebrı gıbı, önermeler cebrı de yakın zamanlarda (mesela VVhıtehead, Russell, VVıttgensteın gıbı mantıkçılann yaptığı çalışrrıalar sayesınde) bırçok yenı özellıkler kazanmıştır Gunumuzdekı önermeler mantığının dayandığı en önemlı temellerden bırısı, ve 0. veya (v), ıse (' ancak ve ancak (<=>' gıbı önerme eklemlerının doğruluk tablosu yardımıyla verılen tanımlarıdır Bunun ıçın p ve q gıbı herhangı ıkı önermeyı göz önune alalım Bu ıkı önermenın bırlıkte alabıleceğı doğruluk değerı ve bu ıkı önermenın çeşıtlı eklemlerle bırbırlerıne bağlanması halınde alabıleceklerı doğruluk değerlerı şöyledır 3 pq p.q pvq p~q p~q DD D D D D D Y Y D Y Y Y D Y D D Y Y Y Y Y D D Işte bu tablodan yararlanarak bırçok du şunurun tasarladığı, akıl yurutmelerımızın doğruluğunu mekanık bır şekılde denetlemek olanağı elde edılmektedır Fakat bura da bızı ılgılendiren husus, Boole'un kumeler cebrı ıle önermeler mantığı arasında bı şeklınde göstorilir Böyle bır devreye A ucundan gelen akımın B ucuna geçebllmesl Içın p ve q ıle gosterılen anahtarların beraberce kapalı olması gerekır Dıkkat edılırse bu durum 've" ekiemıyle gösterılebılır Bunun ıçın de anahtarın kapalı olması ve akımın geçmesi hallni 1 ile, tersı durumu O ıle gösterelım Dolayısıyla yukarıdakı tabloda doğru değerı yerıne 1, yanlış değerı yerıne O yazmamız gerekır Bu durumda p v q'nun beraberce 1 değerını aldığı Ilk satırda sonucun da 1 değerını alması bıze akımın geçtığını gösterı r Serı bağlanmış bır devrede, eğer anahtarlardan bırısı veya her ıkısı bırden açıksa şuphesız akım geçmez Nıtekım 've" eklemınde 2 , 3 ve 4 satırlarda sonuç da O değerını almaktadır Paralel olarak bağlanmış bır devrenın şeması ıse şöyledır. p ^+« > 1 6 Böyle bır devreden akımın geçebılmesı ıçln ya her ıkı anahtarın kapalı olması ya da sadece bırının kapalı olması gerekır Bu durum "veya" ekiemıyle gösterılebılır Çunku bu eklem sadece son satırda O değerını almaktadır Gerçekten de paralel bağlanmış bır devreden akımın geçmemesı her ıkı anahtarın da açık olması (yanı O değerını alması) durumunda mumkundür işte basıt bu ıkı devreden yararlanarak daha karmaşık devreler ınşa etmek ve söz konusu eklemler yardımıyla bu devrelerln çalışmasını denetlemek mumkundür Kurulacak devrelerde akım geçıren (yenı kapalı) bır anahtar şeklınde gösterılır Böyle bır anahtar, p', q', r' olarak yazılan sembollerle ıfade edılır Kurulacak devrelerde akım geçırmeyen (yanı açık) bır anahtar ıse şeklinde gösterlllr Böyle bır anahtarı temsıl eden semboller tse, p, q, r gıbı harflerdır Şımdı bu açıklamalar çevçevesınde bır örnek olarak, aşağıdakı glbı bır devrenın sembolık ıfadesını yazalım ve böyle bır devrenın ne zaman akım geçıreceğını ne zaman geçırmeyeceğını doğruluk tablosuyla tespıt edelım Aşağıdakı gıbı bır devre verılmış olsun Dıkkat edlllrse bu tablo, söz konusu devreden sadece doğruluk değerının O olduğu satırda, yanı p ve q anahtarlarının çevrilmemesı r anahtarının çevrılmesı halınde akım geçmez Dığer durumlarda ıse akım geçer Fakat eğer ıstenlrse, 1 değerı almış satırlarda p, q veya r anahtarından değılleme (yanı ' ışaretı) ıle temsıl edılmeyenlere basmak ya da uzaktan kumanda yoluyla veya çevlrerek), diğerlerlnı olduğu gıbı bırakmak suretıyle de akımın ne zaman geçeceğı tayın edılebılır Böyle bır tablo çok daha karmaşık devrelerde hangı duğmelere basmakla akımın geçebıleceğını tespıVve kontrol etmemize de ımkân verebılır Yukarıda elektrık devrelennln teşklll ıle IIgıli olarak belırtılen kurallar vasıtasıyla, ıstenılen özel şartları yerıne getıren devreler kurmak da mumkundür Mesela şu şartlara sahıp bır devre kurulmak ıstensın 4 uç kışılık bır jurının her uyesı, kararı olumlu olduğunda önundekı duğmeye basıyor En az ıkı kışının kararının olumlu olması halınde blr ışık yanıyor Bu ımkânı sağlayan devre nasıl kurulabllır? Jürı üyelerinin önlerındekı düğmeleri p, q, r ıle gösterelım Verılen şartlara göre, uç kışı de duğmeye basarsa lamba yanar Bunun ıçın, dugmenın her uçunun de akım geçırmıyor bır halde olması, yanl pqr Ile ifade edılecek durumda bulunması gerekır En az ıkı kışının duğmeye basması halınde Ise, pq'r, p'qr ve pqr' ıfadelerıyle temsıl edilen bır devrenın olması halınde lamba yanar Yanı ıstenılen devreyı temsıl eden ıfade pqr v p'qr v pq'r v pqr' şeklınde olacaktır Bu Ifadenın temsıl ettığı devre ıse <T Bu devrenın ust hattında bulunan p ve r anahtarları bırbırlerıne serı olarak bağlandıkları için bu kısım pr şeklınde*, alt hatta bulunan anahtarlar ıse, paralel olarak bağlandıkları ıçın qvr' şeklınde gösterılırler Her ıkı devrenın bırbınne paralel olarak bağlandığı dıkkate alınırsa devrenın tamamı, "pr v (q v r')" ıtadesıyle temsıl edılır Bu ıfadenın doğruluk tablosunu (yukarıda verılmış olan doğruluk tablosundakı değerlerden yararlanarak) kurmak suretıyle söz konusu devrenın ne zaman akım geçıreceğını ne zaman geçırmeyeceğını tesplt etmek mumkundür Şöyle kı p pqr p'q'r p'qr' p'qr pq'r' pq'r pqr' pqr 0 0 0 0 1 1 1 şeklınde olur Boole cebrı sadece böyle bır devrenın teşkılınden değıl mesela bır su şebekesının, kanalızasyon şebekesinin, tren raylarının teşkılınde trafık ışıklarının duzenlenmesınde de kullanılabılır Boole cebrı ayrıca bılgısayarların ınşasında çok daha karmaşık devrelerın kurulmasında da kullanılmaktadır Bılgısayarlarda kullanılan transıstörler, dıodlar, resıstörler ve kapasıtörlerden oluşmuş "çıp" adıyla anılan anılan kuçuk sılıkon krıs taller yanı entegre devreler, (yenne göre yuzlerce gelen akım ınput) ıle çıkan akımlar (output) arasında çeşıtlı bağıntıların kurulmasına ımkân vermektedır Gelen akımlarla çıkan akımlar arasındakı çeşıtlı bağıntılar, entegre devreler içınde yer alan farklı turden geçıtlerden (gate) oluşan şebekeler sayesın de kurulurlar Bılgısayarların donanım (hardware) kısmı bu şebekelerden meydana gelır Mesela bır geçıte gelen uçların ancak herbınnden beraberce akım geçmesı halınde çıkan uçtan bır akım geçebltır Şema ıle gös terırsek a Böyle bır geçıt "ve geçitı" adını alır Bu ge çitte çıkan uç, gelen uçları temsll eden sembollerın 've" ekiemıyle bırbınne bağlanması suretıyle ıfade edılmıştır Dığer bır geçıt, gelen uçlardan en az bırısınden akım geçmesı halınde çıkan uçtan akım geçmesıne ızın veren turden olabılır "Veya geçitı" adını alan bu geçıt şema olarak bc a b > > k=avövc q 0 0 r pr qvr" 0 0 0 0 0 1 0 1 1 pr v (q v r ) 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1, 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 şeklinde göstenlır Gelen akımla çıkan akım arasında ters bağıntı olma durumunu temın eden "değıl geçitı", şematık olarak aşağıdakı gıbı gösterılır Bilgisayarlann temelını teşkıl eden bu ve diğer geçıtlerın ve aralarındakı ılışkılerın ıfadesinde yine Boole cebrinden yararlanılır