Katalog

Bİ L6İSAYAR Düzensiz şekillerin alanları nasıl hesaplanır? Düzensiz şekillerin alanı, bilgisayarda şekil üzerinde mekanik bir tümleyici hareket ettirilerek kolayca bulunur. Adnan Kurt üzensiz şekıller ve bunların alanlarıyla ılgılı hesaplamalar, birçok araştırma ve çalışmada önemlı bır gereksınım olagelmıştır Örneğın coğrafyacı ıçın bır gölun alanını bulmak, bıyolog ıçın bır hucrenın, guneş fızıkçısı ıçın guneş lekelerının alanını hesaplamak sureklı sorunlardır Alan bulmada ılk adım, cısmı bır grafıkle, fotoğrafla, ızduşum goruntusuyle ya da bır başka şekılde göstermektır Daha sonra bu şekıl uzerınde mekanik bır tumleyıcı (ıntegrator) hareket ettirilerek cısmın alanı bulunur Yenı teknolojiyle ise, bılgısayarın optık okuyucusu ya da sayısallaştırıcı masa okuyucusu şekıl uzerınde gezdırılır ve toplamayı (ıntegrasyon) bılgısayarın yapması sağlanır Okuma uçlarının sağladığı şey, cısmın göruntusune ılışkın Kartezyen noktalar kumesıdır Bılgısayar, cısmı çevreleyen noktaları kullanarak, ıçerıde kalan alanı bulur Hesaplanan alanın doğruluğu örnekleme noktalannın yoğunluğuna (bır şeklın örneklemesınde kullanılan nokta çıftlerının sayısına) bağlıdır Bu da eğrının duzensızlığıyie orantılıdır ve çok kıvrımlı eğrıler ıçın daha çok ornekleme noktasına gereksınım duyulur Bu yazıda şekıl 1 'de gösterılen turde eğrılerın alanını bulmak ıçın bır algorıtma ve bılgısayar ızlencesı tanıtılacaktır Şekıl 1d'de olduğu gıbı, bırden fazla kapalı eğrıden oluşan alanları bulmak ıçın her kapalı alan ayrı olarak hesaplanmalı ve toplanmalıdır koyarsanız, noktaları seçme sıranıza bağlı olarak artı ya da eksı değerde alan bulduğunuzu gorursunuz Bu karışıklığı yok etmek ıçın, bulunan değerın mutlak değerını almak, ornekleme sırasın dan bağımsız olarak artı değerlıklı alan elde etmeyı sağlar Şımdı de Şekıl 3'tekı gıbı, daha karmaşık bır eğrının alanını bulmaya çalışalım ABCD şeklının alanının OAB, DBC ve OCD alanlarının toplamıyla ODA uçgenının alanının farkına eşıt olduğu gorulur Aynı yönde dolaşarak ornekleme yapmaya dıkkat ederek, oncekı alan bulma denklemını kullanabılırız Boylece toplamın mutlak değerını alıp, şeklın alanını bulabılırız Şekıl 3'tekı şekle ılışkın noktaları kullanıp bır uygulama yapabılırız A = (1,4) B = (3,4) C = (4,3) D = (4,1) değerlerı denklemde yerıne konularak (OAB) alanı bulunur (OAB) alanı V2 X / 1 X 4 • t r |,1 f ' i D = V2/(3 x 34 x 4)/ = V2x7 = 3,5 bırım kare (OCD) alanı = V2/(X1Y2 X2Y1)/ = Vz/(4 x 1 4 x 3)/ = 1/2x8 = 4 bırım kare (ODA) alanı = 1/2/(1 x 14x4)/ = V2 x 15 = 7 5 bırım kare (ABCD) alanı = 4 + 3 5 + 4 7 5 = 4 bırım kare Sıradan ve kapalı basıt eğrılerın alanları bu yaklaşımla, ılk denklemımızın bır genelleştırmesıyle bulunabılır Eğer ardışık noktaların koordınatları bırbırıne yakın olarak alınırsa, alan bır dızı çok Ince uçgenlere bölunmuş olur ve eğrı çızgılerle çevrelenmış alanlar bıle oldukça doğrulukla hesaplanabılır <x y > çıftı basıt bır ? kapalı eğrısını çevreleyen noktalar dızısının elemanları olsun Başlangıç koordınatları <Xo, Yo> ve bıtış koordınatları <Xn, Yn> aynı noktalar olduğunda ?'nın çevreledığı alan şu algorıtmayla bulunur Bu denklemın doğruluğu Stokes kuramını standart bır çızgı tumlevıne uygulamakla kanıtlanabılır (OBC) alanı = V2/(X1Y2 X2Y1)/ Alan Bulma Programı PROGRAM 1, Alan bulma algorıtmasını kullanan, BAŞIC dılınde yazılmış bır alan hesaplayıcı programdır Program INPUT komutlanyla, bır dızı <x,y> koordınat noktalarını okur ve bu noktalarla çevrılen alanı hesaplar Ilk ve son ör nekleme noktalannın aynı olduğu varsayılmaktadır (kapalı eğrı olma koşulu) N verı noktalannın sayısının, X(K) ve Y(K) ıse koordınat değerlerını saklar 10 satırdakı DIM komutuyla en çok verı sayısı ıstenılen şekılde bılgısayarın kapasıtesıyle orantılı olarak değıştırılebılır ÖRNEKLER Şekıl 3'tekı alanı hesaplayalım 4 x(2) = 3 Y(2) = 4 x(3)4Y(3)3 x (4) 4 Y(4) = 1 x(5)«1 Y(5)4 Alan = 4 bırımkare READY 10 DIM X(50), Y(50) 20 INPUT N",N 30 FORK=1 TO N 40 PRINT K 50 INPUT "X(K)",X(K) 60 INPUT"Y(K)",Y(K) 70 NEXT K 80X(O) = X(N) 90 Y(O) = Y(N) 100 ALAN = O 110 FOR K = OTO N1 120ALAN = ALAN + X(K)* Y(K+1)X(K+1)*Y(K) 130 NEXT K 140 ALAN0 5*ABS(ALAN) 150 PRINT "ALAN = ",ALAN." BIRIM KAREDIR" 160 END (Commodor» 64 içln) 4x3+3x34x4 + 4x1 3x4 + 4x41 = 0,5x181/ = 4 bırım kare x1/ Alan Bulma Algoritması Şekıl 2'de OAB alanı ıncelenırse, OAB uçgenının alanının şuna denk olduğu görulur (OAB) alanı = (OCB) alanı + (ABCD) alanı (ODA) alanı X2Y2/2 + (X1X2) (Y1+Y2) / 2X1Y1 / 2 = V2(X2Y2 + X1Y1+X1Y2X2Y1 X2Y2 X1 Y1) = V2 (X1Y2 X2Y1) Gerçek sayıları bu denklemde yerıne 2731 Ocak 1988 Heyecan dolu be$ gOnun birini Commodore PC'lere ^ eyırın! Commodore ELEKTRONIK SANAVI VE TICARET A S ETAP MARMARA TÜYAP SALONU TAKSİM 13 J