Katalog

M A T E M A T İ K OD AK L kPn(k) = n! k0 olduğunu kanıtlayınız. 2) Bir ABC üçgeninde, E ile A köşesindeki açıortayının BC'yi kestiği noktayı, F ile aynı açıortayının üçgenin çevrel çemberini kestiği noktayı, M ve N ile de E'den sırasıyla AB ve AC'ye inilen dikmelerin bu kenarları kestikleri noktaları gösterelim. ABC üçgeninin alanının AMFN dörtgeninin aianına eşit olduğunu kanıtlayınız. 3) x, xn, x,2 + ... + xn2 = 1 e ş i tliğini sağlayan reel sayılar ve k'de 1 'den büyük bir doğal sayı olsun. Bu takdirde, a, s£ k 1 (i = 1 n) V n ( k 1) ve a,x, + n n 8 X 16. yüzyılda fermanla kurulan bir gözlemevi, gene padişah iradesiyle yıktırılmıştı. "istanbul kadısına hüküm ki müteveffa Lütfullah'm vakfı olan müneccim kitaplan mahmiyei mezburede Mimar Sinan mahallesinin imamı ve muezzini ellerinde olduğu ilan olunmağın alınıp rasadhaneye verilmek emredüp buyurdum ki vardukta fehir etmeyüp müteveffayi mezburun nücuma ve ilmi hey'ete ve hendeseye müteallik olan kitaplan eğer mezkurun ellerindedir ve eğer âhardadır her kımde ise getirip dahı bilfiil rasad hizmetinde bulunan Mevlânâ Takyeddin'e cüm/es/n teslim etiiresin fi 12 sofer 9 8 6 . " III. Murat, bu fermanıyla çok yetenekli bir astronomi Dİlgini olan Takyeddin için bir gözlemevi kurulmasını buyuruyordu. Padişaha yakın Hoca Sadeddin'in önerisiyle 1575'te (ya da kısa bir süre sonra) başlatılan aözlemevi, Avrupa'dakilerle karşılaştınlabilecek bir potansiyele sahipti. Ne var ki, dönemin seyhülislamı ile Hoca Sadeddin arasındaki süriüşme büyümüs, şeyhülislam da gökleri /nce/emenin devlete uğursuzluk getireceği yolunda görüş bildirmisti. Bir kuyrukluyıldızın gözlenmesi, ardından da veba salgını ile "destek" gören bu gb'rüs üzerine padişah, Kaptanı Derya Kılıç Ali Pasa'yı, daha tamamlanamamıs olan gözlemevinin yıkılmasıyla görevlendirmişti. Gözlemevi yıkıldıktan yaklaşık 30 yıl sonra Avrupa'da, çesitli merceklerin bir arada kullanılmasıyla mikroskop ve teleskop gelistirildi. Böylelikle, o güne kadar gözle görü/emeven oir dünva gözler önüne serilmis oldu. Batıda bilgınler, canlı ve cansızlann mikroskobik dünyasıyla gökyüzünü bu yeni araçlarla inceleme olanağına kavustular. Osmanlılarda ise, padişah fermanıyla yıkılan yalnız bir gözlemevi değil, bir bilim anlayısıydı da. Mikroskop ve teleskop kullanımı birkaç vılda Avrupa'ya yayılırken, Osmanlılardo, bunlardan bir yapıtia söz edilmesi için bile bir yüzyıl beklemek gerekecekti (Yanyalı Esat Efendi, Aristoteles'in Fizik'ini çevirirken bu alandaki gelismelere değinmişti.) Bugünün Türkiye'sinde bile, mikroskop ya da teleskop kullanımı (en azından amatör bilim düzeyinde) bilgisayarlarınki kadar yaygın değildir. Sabırlı bir inceleme yeteneği ve belirli bir doğa kavrayışı gerektiren bu araçlar yerine ev ve okullarda bilgisayar daha yaygındır. Bir baska doyişle, eğlenceye yönelik teknolojik ürun tüketımi, bilim araçları kullanımına ağır basmaktadır. D Bkz. Adnan Adıvarın (Prot. Ûr. Aykut Kazancıgll ve Prot. Dr. Sevlm Tekell'nln gellştlrerek basıma hazırladıkları) Osmanlı Türklen'nde llım (Remzl Kltabevl, 1982). Fermanla Gelen Fermanla Gider eşitsizliklerini sağlayan ve hepsi birden sıfıra eşit olmayan a,", ..., an tamsayılarının var olduğunu gösteriniz. İKİNCİ GÜN 4) Negatif olmayan tamsayılar kümesinden kendi içine tanımlı ve her n için f(f(n)) = n + 1987 koşulunu sağlayan bir f fonksiyonunun bulunmadığını kanıtlayınız. 5) Öklid düzleminde (iki boyutlu koordinat düzlemi) her n > 3 için n noktadan oluşan öyle bir küme bulunuz ki, bu kümeye ait herhangi iki nokta arasındakı uzaklık irrasyonel bir sayı olsun ve yine bu kümeye ait herhangi üç nokta dejenere olmayan ve alanı rasyonel bir sayıya eşit olan bir üçgen beliriesin. 6) n ^ 2 bir tamsayı olsun. Eğer 0 s£ k ^ V "koşulunu sağlayan her 3 k tamsayısı için k2 + k + n bir asal sayı ise, k = 0, 1 n 2 için k 2 + k + n sayılarının hepsinin asal olduğunu kanıtlayınız. m Not: Her günkü sınavın süresl dört buçuk saat ve her soru 7 puandır. Matematik Olimplyatları ekibimiz ve sorulanmızı cevaplandıran Reha Tütuncü (Çerçevede), hocalan Doç Dr. Sernih Koray (sol baştan birinci) ve Prof. Oktay Çelebl (Ikinci) İle bırlıkte Bilim adamına gereken önem verilmiyor "Bu nedenle endüstri mühendisi olacağım. Matematik profesörü olsam geçinemem. Mühendis olacak arkadaşlarım milyoner olurken ben barakalarda yaşarım." Olimpiyat üçüncüsü Tütüncü ilesöyleşi: Türklye'nln önerdiği sorular 1) [PQ] ile ABC üçgeninin [BC] kenarı üstünde (noktalar B, P, Q, C sırasını izlemek üzere) alınmış ve uzunluğu sabit bir u sayısına eşit bir doğru parçasını gösterelim. Sırasıyla P ve Q'dan geçen ve üçgenin diğer iki kenarına paralel olan doğruların AC'yi kestikleri noktalar P2 ve Q2 olsun. PQQtP, ve PQQ2P2 dörtgenlerinin alanlarının toplamının [PQ]'nun [BC] üstündeki konumundan bağımsız olduğunu gösteriniz. 2) a, b ve c pozitif tamsayılar olmak üzere, x = 2272, 3 2 y « 103 + 102c = + 10b + a ve z 1 sayılarının ax + by + cz = 1 eşitliğini sağladıkları verilmiş olsun. y sayısını bulunuz. 3) I ve i; üç boyutlu uzayda iki doğru; A, B ve C'de, B noktası [AC] doğru parçasının orta noktası olacak biçimde I üstünde alınmış üç nokta olsun. Bu takdırde olduğunu ve eşitliğin I ile l'nün paralel olmaları durumunda geçerli olduğunu gösteriniz. 4) ak sayıları (1 V~2 x + x2)" = î k0 K üba'da yapılan ollmpiyatlarda Türk ekibinde en yüksek puanı tutturan ve bir üçüncülük kazanan (29 puan) Reha Hüsnü Tütüncü, sorulanmızı yanttladı: "Matematik dalına olan özel ilgim nedeniyle olimpiyatlara katıldım. Amacım, hem ülkemi iyi bir şekilde temsil etmek hem de bu alandaki yeteneklerimi daha da geliştirmekti. Hazırhk süresi içinde yaptığımız çalışmalarda çok şey öğrendim. Ayrıca derece almak da sevindirici oldu." "Küba'da elde ettiğimiz sonuç, yaptığımız çalışma açısından yeterlı bence. Daha iyi sonuçlar almak mümkün. Öğrencileri teşvik şart. Bu olimpiyatları öğrencilere tanıtmak da şart. Ben fen liseli olmasaydım bu konudan haberim bile olmayacaktı. Öğrencilete daha iyi şartlar sağlanmalı. Teşvikler verılmeli ve matematiK bilimi özendirilmeli." "Olimpiyatlara hazırhk süresi yetersizdi. Daha uzun süre ayrılmalı ve organizasyonda aksaklık olmamalı. Örneğın Küba'ya, btzi hazırlayan öğretmenlerimizle gitmek isterdik. Birlikte çalıştığımız için hepsi orada olsaydı bize katkıları daha fazla olur, soruları Türkçeye daha iyi aktanrlardı ve bu, başarımızı da etkilerdi." Sonraki olimpiyatlara katılacak olan öğrenci arkadaşlarıma tavsiyem, kendilerine güven duymaları. Diğer ülkelerden gelen öğrenciler bizden çok daha zeki ve yetenekli değiller. Biz kendimize güvenmeden gittik. Daha önceki olimpiyatlarda Türk ekibinin aldığı sonuçlar hiç de iyi değildi." "Matematikçi olmak istemiyorum. Bilkent'te endüstri mühendisliği bölümünü kazandım ve orada eğitimıme devam edeceğim. Ama matematıği de bir hobi olarak sürdüreceğim. Matematığe yeteneğim var. Bu alanda çalışmalarımı sürdürürsem çok iyi bir matematikçi olabileceğime inanıyorum. Ama ekonomik şartlar beni mühendıs olmaya zorluyor. Matematiğı seçsem, mühendis çıkacak arkadaşlarım milyoner olurken, ben belki de barakalarda yaşarım. Bu da kendime güveni sarsar. Matematik profesörü olarak alacağım ücret geçinmeme yetmez. Türkiye'de bilim adamına gereken önem verilmiyor. Bu nedenle de öğrenci arkadaşlarım da para kazanabilecekleri meslek seçimi peşindeler. "Örtaöğretimde matematik iyi öğretilmiyor ve sevdirilmiyor. Öğrencilerde bu dala karşı peşin bir korku var. Bu korku sınıfta yenilmeli, bunun için de öğretmene çok iş düşüyor. Ama fen lisesinde bile bu yeteri kadar başarılamıyor ve yetersiz kalınıyor " D ax* açılımındaki katsayıları gös" termek üzere E (D ko k B,« ifadesini (n cinsinden) hesap ediniz. D