Katalog

M A T E M ATİ K 4 nesil matematikçiye ter döktüren problem Ünlü Fransız matematikçi Poincare nin 80 yıl önce ortaya attığı matematik problemin n dört boyutlu bir ortamda bizim evrenimızde geçorli olup olamayacağı hâlâ tartışılıyor. Çeviri: Belşin Öz vrenimiz kauçuktan olsaydı, topolojınin, anaokulundan itibaren öğretilmesı gerekecekti. Oysa, gerçekler o denli esnek olmadığı için önce aritmetikle başlanıp geometrıyle devam ediliyor. Geometri, temelde çızgiler, daıreler, düz yüzeyler, küp ve piramitlerin ilmi olup, Oklit'ten berı bu şeklinı korumaktadır. Bu sert cısımlerın geometrisidır: Eksenler.diş ve carklar.kuartz kristalleri, bakır çubuklar, çelik tabakalar. Boyutlarda, çok yüzlülerin yüzey sayılarında, açı degerlerinde görulebılen değışiklikler incelenir; fakat söz konusu olan her zaman beton gıbi esnek olmayan, bükülmez ve sert cisimlerdir. Daha sonraları XVII'ncı yüzyılın sonlarına doğru, bazı araştırmacılar açı ve uzunluklardaki değişmeleri bir yana bırakıp, şekil ve durum değışiklikleriyle ilgılenmeye başladılar. Koenigsberg'in 7 köprü problemi (bir yaya her bir köprüden sadece bir defa geçebilir mi? 1730'da Euler bunun olamayacağını gösterdi) ya da herbıri kanallarla üç kuyuya baglanacak üç ev problemi (hiçbir kanal bir diğeriyle kesişmeyecektı, ki bunun da ımkânsızlığı kanıtlanmıştır) bu tür çalışmaların sonucudur. Geometriyp dayanılarak başlatılan bu problemler, aslında geometri değildi, çünkü bilinen hıçbir teorem bir çözüm getiremiyordu. Şekıi değişikliği problemlerinin ortaya çıkmasıyla, topolojı de doğuyordu. ilk olarak konu, alışılagelmış bir ortamda, bir hacmi sınırlayan yüzeylerin şürekli değişmeleri sırasında korunan özelliklerin ınrolenmesi oldu Mesela klasik Poincare ispatlanabilecek mi? E geometri İçin bir tenis topu ile bir sosisin hiçbir ortak yanı yoktur. Oysa topolojl bu iki ciBtni birbirinin aynı olarak görür. Bir tenis topunu yırtmadan iyice çekerek, bir sosıs şekli verilebilir. Aynı şekılde top, yumurtanın, bir halterin, bir çorba tabağının veya içindeki mercımek tanesınin de aynıdır. Fakat bir top, bir perde halkasının aynı değıldır, çünkü hiçbir sürekli değışme bir küre içinde bir deliğe neden olmaz. Topun aynı zamanda plastik ve elastik olan topolojik bir maddeden yapılmıs olması şarttır. Böylelikle istendiği gibi şekıllendırilebılır ve çekilebilir, aynı çabuklukla ılk şeklini alabilir. Dahası geometrik açıdan mükemmeldır, yani ikili boyutta, ancak bir gölge kadar kalınlığı vardır. Ve en önemlisi bir kâğıt gibi katlanamaz. Çünkü o zaman bir kopukluk yaratılarak (kat yeri) çıkış hipotezine ters düşülmüş olur; bu, hipotez değişiminin sürekli olması gerektigidir. Plastik ya da kauçuktan esnek bir yaprak, bu konuda bir fikır verebilir. Hiçbir zaman tam olarak katlanmaz ve kat yerinde her zaman yuvarlak bir kenar oluşur. Bu özellıkler topolojik bir gömleğin düğmeleri açmaya gerek duyulmadan ve hatta sırasıyla pardösüyü, sıkıca bağlanmış eşarbı, ceket ve kazağı çıkarmadan, çıkarılabileceğını ortaya koymaktadır. Yazıdakı şekıllerde birbirine geçmış halkaların nasıl çıkarılabileceğı gösterilmiştir. Bu, günümuzde analizın ve geometrinın temel noktalarından biri olarak görülen topolojinin sadece bir şeklidır dıği Politeknik'te, önüne koyulan her türlü matematik problemini çözmekteki başarısıyla kendini gösterdi. Doktora tezini diferansiyel denklemler üzerine verdi. Ertesi sene Caen'de matematik profesörü pldu ve henüz 27 yaşındayken Parıs Universitesi'nde ders vermeye başladı. Ortak bir kanı, Poincare'ın evrensel olarak nitelenebilecek son matematikçi olduğudur. Devrinın bütün bilgilerine hâkim olmakla kalmayıp, matematıgın tüm dallarına büyük katkılarda bulunmuştur: Sayılar teorisı, kompleks analiz, diferansiyel denklemler, mekânik, astronomi ve matematik, fizik. Adlandırmak gerekırse: Poincare teoremi, Poincare modelleri, Poincare grubu ve Poincare eşitliği vs. Modern topolojinin temelını atan da Poincare'dir. 1904 yılında ortaya koyduğu ve Poincare sanısı adıyla bilinen bir hipotez, ancak 1960'ta, o da kısmen çözulebılmıştir. 1982'de bir başka olasılık ıspatlanmış ve nihayet 1986'da bir Ingiliz ve bir Portekızli son olasılığı çözdüklerını bildirmişlerdir. Poincare kimdir? Henrl Poincare 1854'te Nancy'de doğdu. Babası fızıkçıydı. 19 yaşında gir Poincare sanısı şöyle ifade edilmektedir: n ^ 3 için, yoğun, istenilen yöne çevrilebilir ve birleşmiş bir tek yüzey, Sn küresınden farklıdır. Poincare bu sonucun n = 2 için doğru olduğunu biliyordu. 1961 de Stephen Smale n ^ 7 için doğru olduğunu gösterdi. Daha sonra, Zeeman ve Stallıngs'le, n = 5 ve n = 6 için de doğru olduğunu ispat etti. 1982'de n = 4 için de doğru olduğunu ispat eden Friedmann, Fields ödülünü kazandı Ortada sadece n = 3 kalıyor ve 1904 yılında ortaya konan hipotezin anlaşılması gerekiyordu. Basit bir yolla, kelıme kelime ilerlemeyi deneyelim: Yoğun bir yuzey, üzerinde hiçbir boşluk veya delik bulunmayan bir yüzeydir. Bu maddenin sürekli kesıksız olması ve üzerinde hiçbir çatlak ve girintı bulunmaması demektir. Çok ınce bir plastik tabaka düşünün, önce büyülteç, sonra mikroskop Poincare sanısı ve daha sonra ikincı bir mikroskopla bakalım; görüntüyü böylece sonsuza dek büyültebiliriz, eğer hâlâ tümüyle düz bir tabaka görebiliyorsak, bu onun gerektıği gibi yoğun olduğunu gösterir. Yeni şişirılmiş bir hava lastiği yoğundur, en ufak bir iğne deliği bile bu özellığini kaybetmesine neden olur. Matematiksel olarak gerçek sayılar yoğun bir bütündür: iki sayı arasında, birbirine ne kadar yakın olurlarsa olsunlar, ondalıkları sonsuza dek uzatarak, bir üçüncüsünü bulmak mümkündür. Hatta bu iki sayı arasında sonsuz sayı olduğunu da söyliyebiliriz: A ve B bu iki sayı olsun, m ve n herhangi iki sayı, C = (mA nB) / (m n) A ıle B arasında akla gelen ilk sayı (A B) / 2'dür. Demek kı, gerçek sayılar yoğun bir bütün oluşturmaktadır. Tekrar yüzeyimize dönelim: Her noktasında yoğundur, hiçbir kesik ya da boşluk yoktur. 'İstenilen yöne çevrilebilir' ozelliğine gelince, bir kâse yönlendirilebilirken, gofre kâğıt (kıvrıntılı, ondüle karton gibi) istenıldıği gibi yönlendirilemez. Kâseyi doldurmak istediğinız zaman yukarı, boşaltmak için aşağı çevirebilirsiniz. Oysa ondüle bir sac, yağmur altında bırakıldığı zaman, yarısı boş yarısı dolu olarak kalacaktır. Geriye bu yoğun, yönlendirılebilir yüzeyin birleşmiş olması kalıyor. Bir tarlanın, bir evin, bir binanın veya bir masanın çevresini dolaştığınızı düşünün. Yürüyerek ya da daha iyisi, ayağınızı yerden hıç kaldırmamak için patenle, tıpkı bir yılanın yapacağı gibi söz konusu yüzeye iyice yapışarak. Çıktığınız noktaya geri dönüyorsunuz. Bu şekilde bir noktadan çıkıp, yi Bir örnek TopOİOİİde bir küre ve bir sarmal yay aynidir Her Iklsı de voğun yuzeylerdir ve bırinden diğenne yüzeyde hiçbir kopukluk yaratmadan, yanı Dir kırık veyaldeltk yapmadan, şekil değişikliği ile geçilebilır. 10