Katalog

MATEMATİK 350 yıllık teorem cözüldü... Ikı haftd once Cambrıdge Unıversıtesı'nde bıraraya gelen matamatıkçıler, tarıhın en unlu matematık problemlerınden bırının çozumune tanık "oldular Prınceton Unıversıtesı nden Andrew Wlles, uzmanları 350 yıldır meşgul eden ve Fermat nın Son Teoremı adıyla bılınen problemın denklemını yazdığında salon alkıştan kırılıyordu Antık Yunan da x kare ı y kare = z kare denklemının, ancak x, y ve z nın belırlı tam sayılarla yanı sıradan kesırlı olmayan sayılarla değıştınldığınde doğru olacağı bılınıyordu Ğrneğın, 3 un karesı ı 4 un karesı (yanı 9 l 16) 25'e, yanı 5'ın karesıne eşıttır x, y ve z yerıne 5, 12 ve 13 konduğunda ya da başka kombınasyonlarda bu denklem yıne kullanılır 1637 de Fransız avukat şaır ve matematlkçl. Pıerre de Fermat, bu çozumun yalnızca kareler ıçın uygulanabılecegını ortaya attı Fermat, us 2 den daha yuksek bır sayı olarak alındığında (dıyelım x ussu 7 ı y ussu 7 = z ussu 7), hıçbır tam sayı kombınasyonunun ışe yaramayacagını soyluyordu 1665 e kadar yaşadı ama kanıtlarını hıç açıklamadı Çoğu kışı onermeyı kendısının de kanıtlayamadığına ınanıyor Yıllar boyu Fermat ın Son Teoremı matematıkçılerın kafasını kurcaladı Sonunda çozumun, daha genış bır sorunla karşılaşıldığında bulunacağına ınanıldı Örneğın Japon matematıkçı Volchi Mlyaoka, 1988de çozume yaklaştığını duşundu Fermafnın Son Kuramı ıle dıferansıyel geometrı alanında doğruluğu kanıtlanmış bır En cok yanlıs cözülen teorem Fermat'ın Son Teoremi hakkında Matematik Dünyası'nın I.cilt, 4. sayısında (1991) yer alan makaleyi, çok az kısaltarak yayımlıyoruz. Alcv Topuzoğlu ve ıntegral hesaplar teorısı uzerıne onemlı çalışmaları vardır Sayılar teorısındekı çalışmaları bu dalın doğuşunu sımgeler Bachet'nın 1621 de yayımladığı Dıofantın Arıtmetık kıtabını (Bkz [6]) Fermat nın ne zaman okumaya başladığını bılmıyoruz ancak kıtabın Fermat nın buyuk ılgısını çektğıı ve yazdığı mektuplardan 1636da kıtapta değınılen konular uzerınde onemlı buluşlar yapmaya başladığı anlaşılıyor Fermat olumune değın "sayılar "a ılışkın çalışmalarını surdurdu Ancak zamanının dıger unlulerınde aynı ılgıyı uyandıramadı Huygens, VVallıse uzerınde vakıt harcanacak daha lyı konular yok değıl' dıye yazıyordu B Pascal buyuk olasılıkla aynı duşuncede olduğundan, Fermat nın bırlıkte sayılar hakkında bır kıtap yazma ısteğını gerı çevırdı (Bkz [3]) Bu, matematık dunyası ıçın onemlı bır kayıp sayılır çunku bu gırışım dışında Fermat çalışmalarını yayınlamaktan her zaman kaçındı (Bazı matematık tarıhçılerıne gore bunun nedenı basılan çalışmaların yaratabıleceğı buyuk tartışmalardan çekınmesı (Bkz [7])) Bu yuzden Fermafnın sayılar teorı sı uzerındekı çalışmalarına ılışkın bılgımız, mektupları ve Aritmetık kıtabının sâtır aralarına notlar turunden yazdığı gozlemlerle sınırlı Ölumunden sonra, 1679da oğlu Samuel Fermat nın yayımladığı (babasının gozlemlerınt de kapsayan) Arıtmetık kıtabına, geçen sayıda değınmıştık (Bkz [6]) Arıtmetık'm VI cıldındekl 26 problemden sonra Fermat şunları yazıyor "Kenarlan rasyonel sayılar olan bır dık uçgenın alanı, bır rasyonel sayının karesı olamaz Bu teoremt ancak uzun ve zorlu bır çalışma sonucu kanıllayabıldım Kanıtı burada vonyorum çunku kullandığım yontem sayılar teorısınde buyuk ılerlemelere yol açabılır " Sonra oldukça karmaşık bır dılle ve hıçbır sembol kullanmadan kanıtı anlatıyor, Sayladakı boşluğun yeterlı olmaması nedenıyle tum ayrıntılan veremeyeceğını' yazarak bıtırıyor Fermat bu yenıyonteme sonsuz azalma' adını verdı Fermat nın kanıtını gelecek sayıda anlatacağız Bu teoremden kolayca elde edılebılen sonuçlar var, oncelıkle teoremı kenarlan tam sayılar olan dık uçgenler, yanı Pısagor uçgenlerı ([5]) ıçın ıfade edelım (Alanı kare olan bır uçgenın kenarlarını sabıt bır sayıyla çarparsak, alanını bu sayının karesıyle çarprmş oluruz kı Son Teoremı çözen Andrew Vfıles onerme arasında bır bağ olduğuna ınanıyordu, fakatyanıldı Wıles ın çozumu ıse daha (arklı bır yoldan gelıyor VVıles ın aslında kanıtladığı elıptık eğrıler olarak bılınen matemalık obıelerını tanım layan denklemlerle uğraşan başka bır matematık bulmacasının onemlı bır parçasıydı Matematıkçı Nlgel Boston, "Wıles'ın çozumunun oncekı çabalara dayandığını. ancak en onemlısı Andrevv ın parçaları bıraraya getırmeyı başardığını" soyluyor VVıles ın hata yapmış olma olasılığı hâlâ soz konusu Cambrıdge de sunduğu çozum 200'den (azla sayfa suruyordu ve yalnızca ana hatlarından oluşuyordu VVıles asıl sınavı, ka nıtın tam, yazılı bır kopyasını dığerlerıne, kontrol ıçın verdığınde geçecek Metematıkçı Kenneth Rıbet VVıles ın onermelennın bu alandakı en llerı, en ınce matematık teknıklerıne dayandığını soyluyor "Önermelerı tam olarak anlayacak matematık çıler ancak bır odayı doldurur ' VVıles ın kanıtı kuşkusuz tarıhsel bır onem taşıyor ama matematık matematıkçılen daha bır 350 yıl ugraştırmaya yetecek kadar problemledolu a = 2mn 2 x V v e b = m'n* x 4 y 4 olan Pısagor uçgenını duşunelım Bu uçgenın alanı A = l ab x'y!(x'y4) x'y'z2 = (xyz)! olacaktır Yanı alan karedır lakat Fermat nın teoremıne gore bır Pısagor uçgenının alanı kare olamaz O halde denklemı sağlayan sıdrdan farklı x,y,z tam sayıları yoktur Sonuç 2. Sıfırdan farklı x,y,z tamsayıları ıçın x* + y4 = z' denklemının çozumu yoktur • Kanıt Denklemın x y,z tamsayıları ıçın sağlandığını varsayalım Bu durumda z'Y = x4 = (xs)2, 3294 16 yuzyıl ıle 17 yuzyılın ılk yarısında Avrupa'da matematığın yenıden doğuşu' gozlenmektedır Batıda yaşanan yaklaşık 1000 yıllık bır durgunluktan sonra ozellıkle 17 yuzyılın ılk yarısında matematıkte onemlı ılerlemeler gorulur Bu donemın ilgınç özellıklerınden bırı matematığın çok farklı bıçımlerde algılanmasıdır Uzerınde çalışılan problemler, kullanılan yontemler, hatta matematığın amacının ne olmasıgerektığı uzerınde değışık goruşler goze çarpar Matematıkle uğraşan kışılerın çoğu ıçın matematık sadece bır yan uğraştır Asıl mesleklerı, geldıklerı çevre nedenıyle aldıkları eğıtım, sosyal konumları bu kışılerın matematıkten beklentılerını de etkıler Aralarında buyuk anlaşmazlıklar çıkmazı kaçınılmaz olur Bu donemın unlulerınden bazıları klasık Yunan matematığının en belırgın ozellığı olan geometrık yontemlerın kullanımına sıkı sıkıya bağlı kalır Öte yandan Rudolf un Coss (Strassburg 1525) Cardano nun Ars Mayna (Nuremborg 1545), Clavıus un Algebra (Roma , 1608) adlı kıtaplarında llarzımı'nın cebırsel denklemlerın çozumunde kullandığı yontemlerın etkısı gorulur Uygulamalı matematıkçıler dıyebıleceğımız bır dığer grup ıse zamanın teknolo|ik gelışmelerıne temel oluşturacak buluşlarını tamamen farklı yontemlerle elde ederler Onlara gore bır buluş ancak uygulanabılır olursa değerlıdır Plerre de Fermat (1601 1665) da donemın matematıkçılermın tıpık ozellıklerını taşır Unıversıtede hukuk eğıtımı gormuş, Toulouse parlamentosu uyesı ve hakım Matematığe ılgısı 1620 lerın «onlarında, Vıete'ın çalışmalarını okuyarak başladı Bu yuzden bır anlamda Vıete'ın öğrencılerınden, dahası ızleyıcılerındendır Vıete'ınoğretısındenolanlarbuyuksaygı duydukları ve yaşatmaya çalıştıkları klasık Yunan matematığını sadece bır başlangıç noktası olarak gorup onu yenı yontemlerle gelıştırmek gerektıgıne ınanırlar' Fermat nın analıtık geometrı. dıferansıyel x* = malırsak " x*y4 = m2 denklemını sağlayan m.y.z tamsayıları bulmuş oluruz Sonuç 1 e gore bu olanaksızdır O halde varsayımımız da olanaksızdır Matematik Dunyası nın 2 sayısında. denklemlnln xyz f 0 ve x,y,z € Z olacak şekılde *onsuz tane çozümü vardır" onermesını kanıtlamıştık "m' + y'z 4 . denklemlnln xyz / 0 ve x,y.z <£.Z olacak şekılde hiçbir çozümü yoktur" onermesını de yukarıda kanıtladık xJ + y 1 z' ya da x' + y* z' denklemlerı konusunda ne dıyebılırız? Fermat nın bu konuda, Arıtmetık'ın II cıldınde 8 problemden sonra gene sayfadakı boşluklara yazdığı not şoyle (bkz arka kapak) "Hıçbır kup sayı ıkı kup sayıya aynlamaz Aynı ozellık dorduncu kuvveller ıçın ve genel olarak ıkıden buyuk tum kuvvetler ıçın doğrudur" (Cubum autem ın duos cubos, aut quadratoquadratum ın duos quadratoquadratos generalıter nullam ın ınlınıtum ultra quadratum ) boylece alan gene bır kare sayı olur) Teorem (Fermat) Bır Plsagor uçgenının alanı kare sayı olamaz Sonuç 1. Sıfırdan farklı x, y, z tamsayıları ıçın x* y4 z' denklemının çozumu yoktur Kanıt Eğer denklemı sağlayan x, y tamsayıları varsa m x2, n = y* olmak uzere (m, n)'nın doğurduğu (Bkz [5]) Pısagor uçgenını ele alalım Dığer bır deyışle dlk kenarlan