Catalog

www.iku.edu.tr B L M KÜLTÜR VE E TM Sihir ve Matematik Prof. Dr. Erhan Güzel erhan.guzel@iku.edu.tr (İstanbul Kültür Üniversitesi) Girişteki abartılı sözleri dikkate almayın lütfen. Ama size çok sempatik, tamamen matematiğe dayalı bir sihir oyunu göstereceğimizden emin olabilirsiniz. Hayır, bu alt başlıktan beklenebileceği gibi oyunumuz “şapkadan tavşan çıkarma” oyunu değil. “Şapkadan tavşan çıkarma oyununun matematikle doğrudan bir ilgisi var mı?” bilmiyorum ama öncelikle, göstereceğimiz oyunun dayandığı matematiği kısaca açıklamakta fayda olacağını düşünüyorum: Leonardo Fibonacci İtalya’nın Pisa şehrinde doğmuş olan İtalyan bir matematikçidir, bu nedenle Pisalı Leonardo olarak da anılır. Fibonacci yazdığı matematik kitaplarından birinde, tavşan çiftliği olan bir arkadaşıyla ilgili olduğunu iddia ettiği bir problemden söz eder. Bu probleme göre, arkadaşının çiftliğindeki tavşanlar doğdukları ilk iki ay yavru yapmazlar. Üçüncü aydan itibaren her çift her ay bir çift yavru yapar. Buna göre “Fibonacci’nin arkadaşı bir çift tavşanla başlarsa kaç ay sonra kaç çift tavşanı olur? “ problemini araştırırken birtakım ilginç sayılar bulur ve bunlara kendi adını verir. Dolayısıyla 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987… dizisi Fibonacci dizisi olarak adlandırılıyor. Fibonacci dizisinin özelliği kendinden önceki iki ardışık sayının toplamının kendisinden sonraki sayıya eşit olmasıdır. Fibonacci sayılarının dikkat çeken bir diğer özelliği de, dizide yer alan bir sayıyı kendisinden önce gelen sayıya bölerek ilerlenmesi durumunda ulaşılacak sonucun altın orana, yani 1,618 sayısına sürekli yaklaşacak biçimde ortaya çıkmasıdır. Oyunumuzun matematiksel temelini oluşturan, matematikte iyi bilinen ve Fibonnacci sayıları ile ilgili önemli bir teorem olan Zeckendorf Teoremi, sıfırdan farklı her pozitif tamsayının ardışık olmayan Fibonacci sayılarının toplamı biçiminde, tek türlü yazılabileceğini ifade eder. Örneğin 100 sayısı 100 = 89 + 8 + 3 ¸seklinde ardışık olmayan 3 farklı Fibonacci sayısının toplamı¸ seklinde yazılabilir. Bu sayı 100 = 89+8+2+1 ve 100 = 55+34+8+3¸ seklindeki farklı Fibonacci sayılarının toplamı olarak da yazılabilir, ancak teoreme göre bu yazılışlar geçerli değildir. Çünkü son iki yazılışta, sırasıyla ardışık Fibonacci sayıları 1 ve 2 ile 34 ve 55 sayıları yer almaktadır. Şimdi oyunumuzu açıklayalım. Bunun için ihtiyacınız olan tek şey, bu oyun için hazırladığımız aşağıdaki 10 karttır Sizde bu kartların aynısını hazırlayarak elinizin altın “Bu yazıdan öğrenecekleriniz hayatınızı değiştirebilir. Sizi sihir dünyasının bilinmeyen kişisinden, sihrin dünya starına dönüştürebilir!..” en sol üstte yer alan sayıları toplamak yeterlidir. Dikkat edecek olursanız, 3+8+21 = 32 olduğundan işlem tamamdır. Kısacası bu sihirbazlık oyununda, bir sayı seçen izleyici, seçtiği sayıyı içeren kartları işaret ettiğinde, bu karların en sol üst köşesindeki sayıları topluyorsunuz. Bu sayıların toplamı daima, izleyicinin seçtiği sayıyı verecektir. İlkokulda öğrenilen, birkaç sayıyı toplama işlemini bilmek kaydıyla bundan daha kolay bir oyun olamaz. Ve doğrusunu söylemek gerekirse çok az insan, sadece bir toplama işlemi yapıldığını fark edecektir. Oyunun Matematiksel Açıklaması Açıklama basit olmasına rağmen, anlamak için biraz çaba harcamak gerekir. Oyun tamamen Fibonacci sayıları ve Zeckendorf Teoremi ’ne dayanmaktadır. Buna göre, 1 ile 100 arasındaki Fibonacci sayı dizisi aşağıdaki gibidir ve 100 den küçük her tamsayı bu sayıların toplamı olarak tek türlü yazılabilir: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 Bu nedenle, 1 ve 100 arasındaki her tamsayı sadece bir kart kombinasyonunda ortaya çıkar. Örneğin, 32 sayısı aynı zamanda 3, 8 ve 21 ile başlayan kartlarda ortaya çıkmaktadır ve başka hiçbir kartta ortaya çıkmaz. Bu durumda yanılma söz konusu olamaz. Peki, ama bu kartlar nasıl ayarlandı? Çok basit, 10 tane boş kat alındı ve her birinin üzerine sırasıyla 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 sayılarından biri yazıldı. Sonra da 100 den küçük her pozitif tamsayı için, bu sayının Zeckendorf ayrışımı ve bu ayrışımda yer alan her sayının yazıldığı karta ilgili sayı yazıldı. Örneğin, 32 sayısının ayrışımı 32 = 3+8+21 biçiminde olduğundan, 32 sayısı 3, 8 ve 21 sayılarının yer aldığı üç karta yazıldı. Oyun Daha Gösterişli Hale Getirilebilir Oyunu sunarken gösteri bağlamında etkinliğini artırmak için çeşitli önlemler alınabilir. Örneğin, Fibonacci dizisinde yer alan sayılara göre önceden hazırlanan kartları gösterirken sıra karıştırılabilir, yani ilk önce 1’i sonra 5’i daha sonra 34’ü vb. içeren kartlar sırayla gösterilebilir. Ya da kartlarda yer alan renklerin sayıyı bulmada önemli rol üstlendiğine vurgu yapılabilir… 32 sayısını içeren 3 kart olduğu görülür. Şimdi bu kartlara bakarak 32 sayısının sihirbaz tarafından nasıl tahmin edilebildiğini bulmaya çalışalım. Belki de siz nasıl olduğunu buldunuz bile! Ama, 32 sayısını içeren kartlarda 1.http://blogdemaths.wordpress.com/2013/01/13/untourdemagiemathematique/ 2.http://matematikcanavari.blogspot.com.tr/2012/07/fibonaccisayilari.html# TAVŞAN PROBLEMİ da bulundurmalısınız. Çalışma Şekli Bu oyun aşağıda verilen 5 adımdan oluşuyor: 1 Bir izleyiciden 1 ile 100 arasında herhangi bir sayı seçmesini ve bunu hiç kimseye göstermeden bir kâğıda yazmasını isteyin, 2 Yukarıdaki her kartı teker teker izleyiciye gösterin ve her seferinde seçtiği sayının o kart üzerinde bulunup bulunmadığını sorun, 3 Kristal küreye bakıp düşünüyormuş gibi yapın, daha doğrusu sihirbaz rolü oynayın, 4 İzleyicinin seçmiş olduğu sayıyı açıklayın ve üzerinde seçtiği sayının yazılı olduğu kâğıdı çevirip göstermesini isteyin, 5 Ve yeni sihirbazlık numaranızın meyvelerini (alkışları) toplayın. Bu Oyun Nasıl Gerçekleşiyor? Yukarıda anlatılanların içinde hiçbir hokkabazlık yoktur, olay sadece matematiktir. Bunu küçük bir örnekle açıklayalım: Sizin izleyici olduğunuzu ve 32 sayısını seçtiğinizi varsayalım. 32 sayısını içeren bütün kartları bulalım: SİHİR OYUNU Kaynakça CBT 140713 / 7 Mart 2014