Catalog

DOĞ A 88 yaşındaki köpük profesörü Eıggel Plasterer, 50 yıldır sabun köpüğü gösterıleri yapıyor. Köpük üstadı için 20 katlı köpük kuleleri Inşa etmek (solda) sorun değil. Ustte çeşitll biçimlerde bükülmüş teller kullanarak 10 tarklı mlnimal yüzey elde etmek mümkün. Baştarafı 1. Sayfada olan en küçük alanla sınırlıyorlar; • Arılar peteklerini yaparken mümkün olduğu kadar az balmumu harcayarak en geniş hacmi elde etmeye çalışıyorlar. Daha 1300 yıllarında ozan Dante Alighleri, doğadakı bu incelığın farkına varmış ve "Tann fazlalığı sevmez" demişti. iskenderiyeli matematikçi Pappus ise İ.Ö. 4. yüzyılda bal peteklerinin eşsiz düzenine hayran kalmış ve onlardaki optimum ilkesi üstüne çalışmalar yapmıştı. Pappus, eşıt kenarlar ve eşit açılar kullanarak en küçük yüzey karşılığında en büyük hacmın elde edilebilmesi için arıların kullandığı petek biçiminin gerekli olduğunu göstermişti. Arılar petek biçimiyle hem kullandıkları balmumundan tasarruf ediyor hem de sınırlı bir hacme en fazla balı sığdırıyorlardı? Pappus haklıydı. Eğer arılar altıgen değil de çember kesitli petekler yapsalardı, petekler arasında büyük blr yer kaybı meydana gelecekti. Gerçi dörtgen ya da üçgen petekler yapılabilirdi, ama Pappus'un farkına vardığı gıbi en az balmumu karşılığında en genış hacmı sağlayan geometrik bıçım bır altıgen prızmaydı. Altıgen pnzma bıçımındekı petek hücresinin bir başka özelliği, tabanının üç ke narlı bir huni olmasıydı. Huninin her bir yüzeyi dörtgen biçimindeydi. Böylece her hücrenin bir alttaki petek katmanıyla üç adet değinim yüzeyi oluşuyordu. Arılar bu "optimalizasyon problemıni" gerçekten çözmüşe benzıyorlardı. Ta ki Macar matematikçi Fejes Töth, 1964'te "Arıların Blldlklerl ve Bllmedlklerl" adlı çalışmasını yayımlayıncaya dek. Töth, bu çalışmasında arıların yanlışını düzeltıyordu. Petek hücrelerinin tabanında yaptığı ince bir plan değişikliği sonucunda hücre hacmini biraz daha büyütüyor, buna karşın hücrenin yüzeyinde bir artış olmuyordu. Töth'un peteği, bir altındaki petek katmanıyla dört değinim yüzeyine sahipti. Taban alanını sabit tutarak biçimini değiştirmek yoluyla her bir petek hücresinin % 0.035 oranında daha fazla bal alması mümkündü. Kimbilir belkı bir gün arıların petek yapımını kodlayan genlerinde yapıiacak küçük bir ayarlama sonucunda do nnn ğanın bu küçük kusuru da düzeltilebilir. Biz yine sabun köpüklerine dönelim: Değişik biçimlerde büktüğümüz bir teli sabun çözeltisine soktuğumuzda sabunsu zardan yüzeyler elde ettiğimizı ve bunların minimal yüzeyler olduğunu söylemiştik. Minimal yüzeyin matematiksel tanımı zaten bu fizıksel tanıma uymakta: Kapalı bir uzay eğrisi içinde, (yani büktüğümüz telin uzaysal geometrik biçimi) mümkün olan en küçük alanı kaplayan yüzey parçası bir minimal yüzeydir. Kuşkusuz minimal yüzeyler elde etmek için matematikçiler bütün gün teller ve sabunlu sularla oynamak zorunda değiller. Bilgisayara verilen karmaşık denklemler, ekranda birbirinden görkemli minimal yüzeylerin pırıldaması için yeterli oluyor. Hemen aklımıza bir soru gelmekte: "Bilim dünyası minimal yüzeylerle sadece onların estetik yetkinlikleri açısından mı ilgileniyor?" Stuttgartlı mimar Otto Frel: "Sorunuzu yanıtlamak zor" diyor, "ancak mimaride estetik kaygılar kadar mekanik kaygılar da önem taşır. Minimal yüzeylerin üstünlüğü ise bunların her ikisine çözüm getirmeleri; minimal yüzeyler geometrileri gereği en düşük ıç gerilime sahipler, dolayısıyla kuvvetlerin en uygun biçimde dağılmasım sağlıyorlar. Bu durum binaların tavan konstrüksiyonu için uygun bir seçenek olmalarına imkân veriyor." Otto Frei, Montreal1 deki Dünya Fuan'nın çatı konstrüksiyonunda minimal yüzeylerden yararlanmış ve oldukça başarılı bir sonuç elde etmiş. Bu arada canlılar âleminde konuyla ilgili örnekler bulmak mümkün. Tek hücreli canlı, minimal yüzey yapısında. Soz konusu canlılardan biri, Radyolarya adındaki tek hücreli. Radyolaryanın küresel iskeleti altıgenlerden oluşmuş bir kafes gibi. Biyolog D'Arcy Thompson (1917), bu özel geometrik biçimi yüzey gerilimlerinin etkisiyle açıklamış: köpüksü protoplazma içinde küçük sert parçacıklar sürekli olarak köpüğün altıgen kenarlarına çöküyor ve zamanla silikat yapısındaki ıskelet oluşuyor, yani iskeletin kendisi canlının üzerindeki gerilim kuvvetlerinin somut bir görüntüsü (Bkz. GEO S 74) Üstte: Radyolarya (canlı), altta: Poliüretan köpüğü (cansız). Benzerlik şaşırtıcı. Canlılığın molekülsel temellerinde de minimal yüzeylerin egemenliği sürüyor. Canlıların kalıtım bilgisini taşıyan DNA, çifte sarmalı bir minimal yüzey. Bu niteliğin, söz konusu molekülün stabilitesinde nasıl bir rol oynadığı henüz bilinmiyor. Newton'un yüzyıllar önce dediği gibi canlısıyia, cansızıyla doğa "azla yetiniyor, hiçbir konuda boşa harcama yapmıyor." (GEO, 67/5) * Sıvı moleküllerlnl blr arada tutan çeklcl kuvvetler, 10 e cm düzeylnde etklll kohezyon kuvvetlerldlr. O halde blr sıvının yüzey tabakalanndakl moleküller, sıvının Içlne doğru blr kohezyon basıncının etkisl altındadır. Kohezyon basıncı (p) lle yüzey gerilimi (O) blriml dyn/cm arasında, p O lliskisl mevcuttur. Burada (r) küresel yüzeyin yarıçapıdır. (Laplace Denkleml). Üstte sabunla (daire, katenoid, helikoıd). Altta ise bılgisayarla elde edilen yeni minimal yüzeyler. Ne var ki 1964 yılında Macar matematikçi Töth an peteğının kusursuz olmadığını ispatlamıştır. Töth alanı değiştirmeden taban yüzeylerı sayısını üçten dörde çıkararak standartpetek hücresinin hacmini %0.035 oranında arttırmıştır. Altıgen desenine yalnızca bal peteklennde raslanmaz: Cam üzerindeki sabun köpüğü de aynı düzeni aiır.